РОЗДІЛ 2
АНАЛІЗ СТРУКТУРИ ПКВП НА ОСНОВІ ВИДІЛЕННЯ СТАЦІОНАРНИХ КОМПОНЕНТІВ
2.1. Виділення стаціонарних компонентів за допомогою низькосмугової лінійної
фільтрації
Традиційними методами статистичного аналізу періодично нестаціонарних в
широкому розумінні випадкових сигналів є когерентний і компонентний методи
[27]. Перший з них ґрунтується на усереднені відліків сигналу через період
корельованості , а другий – на оцінювані коефіцієнтів Фур’є імовірнісних
характеристик і формуванні на цій основі статистик у вигляді відповідних
тригонометричних поліномів. При компонентному методі припускається, що наперед
відомим є число коефіцієнтів Фур’є характеристик, що оцінюються, а при
когерентному мимоволі припускається, що таке число є нескінченно велике. Це
спричиняє більшу вірогідність компонентних оцінок, особливо при певному числі
коефіцієнтів Фур’є і швидкому загасанні кореляційних зв’язків. Аналіз
вірогідності оцінок можна провести при побудові апроксимаційних виразів для
імовірнісних характеристик. Для апроксимацій доцільно використовувати
зображення періодично нестаціонарних випадкових сигналів (ПНВС) через
стаціонарно зв’язані процеси [21, 22, 27, 166]:
112
Знайдемо кореляційну функцію процесу . Для цього помножимо рівняння (2.1) на
аналогічне комплексно спряжене та зміщене в часі на інтервал , та візьмемо
середнє за ансамблем:
. 324
Тут – взаємокореляційна функція процесів та . Зробивши заміну , а також
використавши властивість симетрії взаємокореляційної функції , перетворимо
рівняння (2.2) до вигляду:
. 536
У випадку скінченої кількості стаціонарних компонент вираз (2.3) матиме
вигляд:
де – кількість компонент.
Як відомо , де – компоненти кореляційної функції ПКВП. Отже, кореляційні
компоненти можна виразити через авто- та взаємно- кореляційні функції
модулюючих процесів [27]:
. 748
Якщо ,
9510
Тут , , . Вибираючи апроксимаційні вирази для кореляційних функцій , тим самим
отримуємо формули для . Така задача не є простою, оскільки кореляційні
компоненти, як видно, виражаються через відповідні суми кореляційних функцій
стаціонарних компонентів . І тому постає питання про можливість безпосереднього
виділення на основі експериментальних даних компонентів [74, 76]. Власне це
питання і аналізується в даному підрозділі.
Як відомо [21, 27], гармонічний розклад ПКВП має вигляд
, 11612
де
, 13714
. 15816
Тут – спектральні компоненти, що є трансформантами Фур’є кореляційних функцій,
а – прирости центрованої функції , – функція Хевісайда: при і при .
Перетворимо інтеграл (2.6) наступним чином
Введемо процеси
, 17918
де . Очевидно, що , і т.д.
Для математичних сподівань процесів , враховуючи (2.7), маємо:
Таким чином, математичні сподівання процесів в поданні (2.1) і процесів
співпадають.
В поданні (2.4), як випливає з (2.8), величини , аргументи яких відрізняються
на величину, що є кратною до , є корельованими. Тому при зміні в межах
інтервалу величини є некорельованими:
Тут - значення нульового спектрального компонента в межах інтервалу . Це
випливає зі співвідношення
Отже, процеси є стаціонарними, оскільки є спектральними густинами потужності
певних стаціонарних процесів. Для кореляційних функцій цих процесів маємо:
Спектральна густина потужності –го компонента тоді для . Визначимо тепер
взаємнокореляційні функції процесів . Для кореляції приростів отримуємо:
Остання рівність можлива тільки при :
Тоді
191020
і для . Взаємнокореляційна функція (2.10), як видно, залежить тільки від зсуву
, тому процеси , , є стаціонарно зв’язаними.
Відтак, ПКВП можна подати у вигляді
де визначаються формулою (2.9). Легко бачити, що процеси можна виділити за
допомогою перетворення [120]:
, 211122
де – імпульсний відгук смугового фільтра, передавальна функція якого має вигляд
Очевидно, що
. 231224
Оскільки
то перетворення (2.11) можна трактувати як переніс спектру вліво на величину і
його фільтрацію в смузі . Враховуючи подання (2.6) і (2.12), знаходимо:
Оскільки і змінюються в межах інтервалу , то внутрішній інтеграл відрізняється
від нуля тільки при і тоді
Постає питання, як виділені стаціонарні компоненти пов’язані з компонентами у
загальному поданні ПКВП (2.1), при доведенні якого ніяких обмежень на смугу
частот модулюючих процесів не накладається [22]: випадковий сигнал є тоді і
тільки тоді ПКВП, коли його можна подати у вигляді (2.1). Достатність цього
твердження випливає з того, що
, ,
де - елементи кореляційної матриці векторного скінченовимірного стаціонарного
процесу : . Ввівши новий індекс сумування , приходимо до виразу:
де визначається співвідношенням (2.4)
Необхідність обумовлена тим, що кореляційна функція ПКВП завжди може бути
подана у вигляді
де - нескінчена додатно визначена матриця. Для такої матриці завжди існує
скінченовимірний стаціонарний випадковий процес, для якого вона є кореляційною
[22].
Приймаючи до уваги (2.4), для нульового спектрального компонента знаходимо
,251326
де – спектральна густина потужності модулюючих стаціонарних процесів :
Якщо кореляційні функції модулюючих процесів повільно заникають, то нульовий
компонент, як випливає з (2.13), має вигляд «гребінки», з гострими вершинами на
частотах . В смугах суттєво відрізнятимуться від нуля тоді тільки значення
спектральної густини –ого компонента. Оскільки при виділенні стаціонарних
компонентів методом смугової фільтрації спектральна густина потужності кожного
–ого компонента визначається значеннями нульового спектрального компонента в
межах інтервалу , тобто при , то в цьому випадку спектральні густини потужності
процесів і будуть однаковими: .
Для вищих спектральних
- Киев+380960830922