РОЗДІЛ 2
РІВНЯННЯ ТЕОРІЇ ПОЛОГИХ ОРТОТРОПНИХ ОБОЛОНОК З ОТВОРАМИ І РОЗРІЗАМИ ТА
МЕТОДИКА ЇХ РОЗВ'ЯЗАННЯ
У другому розділі поставлено задачу про напружено-деформований стан ортотропної оболонки довільної кривини із системою розрізів і отворів та наведено співвідношення, необхідні для її розв'язання.
Стисло викладено основну інформацію з теорії узагальнених функцій і двовимірного інтегрального перетворення Фур'є. Отримано інтегральні представлення трансформант внутрішніх зусиль і моментів в ортотропній оболонці довільної кривини, ослабленій системою розрізів і отворів, з використанням методики, розробленої у працях В.П.Шевченка, В.К.Хижняка [262 - 264, 279-280].
2.1. Постановка задачі про напружено-деформований стан ортотропної оболонки з розрізами й отворами
Розглянемо тонку пружну ортотропну оболонку постійної товщини , виготовлену з ортотропного матеріалу так, що в кожній її точці лінії головних кривин серединної поверхні збігаються з головними напрямками пружності матеріалу. Система ортогональних координат обрана таким чином, що координати орієнтовані вздовж ліній головних кривин серединної поверхні оболонки, а координата спрямована по нормалі до неї. Оболонка ослаблена системою отворів і розрізів довільної конфігурації (рис.2.1), розміри яких великі в порівнянні з товщиною оболонки, але малі в порівнянні з її іншими лінійними розмірами. Це дозволяє розглядати задачу про рівновагу тонкої оболонки з розрізами й
Рис. 2. 1
отворами за допомогою двовимірної теорії оболонок. У межах цієї теорії тріщини моделюються як математичні розрізи серединної поверхні оболонки.
Позначимо гладкі ділянки контурів розрізів і отворів через . Запишемо рівняння у вигляді
, (2.1)
де - півдовжина контуру ;
- неперервно диференційовані функції.
При такому виборі параметра мають місце наступні співвідношення [123]
(2.2)
,
де - направляючі косинуси вектора зовнішньої нормалі ;
- кривина кривої .
Серединна поверхня оболонки являє собою багатозв'язну область, обмежену зовнішнім контуром і контурами .
У класичній теорії оболонок розв'язувальна система диференціальних рівнянь у частинних похідних має восьмий порядок. Тому, відповідно до загальної теорії диференціальних рівнянь еліптичного типу, на контурі повинні бути задані чотири граничні величини і чотири функції підлягають визначенню. Отже, на кожній частині граничного контуру мають бути задані по одній з кожної пари величин
. (2.3)
де - переміщення в напрямках нормалі, дотичної й осі ;
- кут повороту;
, - мембранні зусилля;
- згинальний момент;
- узагальнена перерізуюча сила;
і - перерізуюча сила та крутячий момент на площинках, обумовлених нормаллю і дотичної до кривої .
Позитивні напрямки цих величин показано на рис.2.2.
Компоненти напружено-деформованого стану на контурі виражаються через внутрішні зусилля і моменти у такий спосіб
(2.4)
Рис. 2.2
;
,
де - мембранні зусилля;
- згинаючі і крутячий моменти;
- перерізуючі сили;
- компоненти одиничного вектора зовнішньої нормалі ;
- компоненти вектора переміщень;
- кути повороту.
Позитивні напрямки внутрішніх зусиль і моментів показані на рис.2.3.
Похідні вздовж нормалі та дуги контуру виражаються через похідні по й у такий спосіб
. (2.5)
У силу лінійності задачі напружений стан в оболонці можна представити у вигляді суми напруженого стану в оболонці без розрізів і отворів при заданому зовнішньому навантаженні, яке вважаємо відомим (надалі воно буде позначатися величинами з зірочкою) та шуканого додаткового (збуреного) напруженого стану, викликаного наявністю розрізів і отворів.
Рис. 2.3
Будемо вважати, що відстань між отворами, тріщинами та зовнішнім контуром велика в порівнянні з їхніми розмірами, і збурений напружений стан практично не досягає зовнішньої границі . Тому замість нульових граничних умов на контурі поставимо спрощені умови зникнення збуреного напруженого стану при необмеженому віддаленні від , а область, займану оболонкою, будемо вважати нескінченною.
Припустімо, що контури розрізів й отворів вільні від навантаження і береги розрізів у процесі деформування оболонки не контактують між собою. Тоді граничні умови мають вигляд
(2.6)
.
Якщо контур є криволінійним розрізом, для забезпечення однозначності розв'язку необхідно також виконання додаткових умов на кінцях розрізу
, (2.7)
де - вектор переміщень;
- стрибок функції на контурі (для отворів будемо вважати, що ).
У випадку отвору з замкнутим гладким контуром повинні виконуватися умови
. (2.8)
Умови неперервності переміщень і кутів повороту в точках перетину контурів і мають вигляд
. (2.9)
Для оболонок з концентраторами напружень (отвори, розрізи, включення і т. ін.) експериментально встановлено локальність збуреного напруженого стану [231]. Всередині зони збурювання величини, що його характеризують, являють собою швидко загасаючі функції координат, тому для їхнього опису у випадку оболонки з отворами Г.М.Савін [231] запропонував використовувати рівняння напружених станів з великим показником змінюваності, що збігаються з рівняннями пологих оболонок.
2.2. Основні співвідношення теорії пологих ортотропних оболонок
Класична теорія оболонок ґрунтується на гіпотезі недеформівних нормалей:
* нормальний до серединної поверхні оболонки прямолінійний елемент оболонки після її деформац