РОЗДІЛ 2
ВЛАСТИВОСТІ ЛІНІЙНО-ПАРАМЕТРИЧНИХ ІНТЕРВАЛЬНИХ МОДЕЛЕЙ СТАТИЧНИХ СИСТЕМ
Властивості моделей “вхід-вихід” статичних систем, побудованих із застосуванням
методів аналізу інтервальних даних, визначаються трьома чинниками: структурою
моделі (базовими функціями та кількістю параметрів); результатами експерименту,
на основі яких вони будуються; способом оцінювання параметрів моделі.
Як було відмічено у попередньому підрозділі, інтервальне представлення вихідних
змінних у результатах експерименту (1.23) призводить до необхідності
застосування множинних методів оцінювання параметрів моделі статичної системи.
У випадку заданої структури моделі “вхід-вихід” статичної системи, властивості
множини оцінок параметрів , отриманої із розв’язку інтервальної системи
лінійних алгебраїчних рівнянь (1.25), визначаються виключно результатами
інтервального експерименту (1.23). За цих же умов відомої структури моделі,
заданих результатів інтервального експерименту і застосування для оцінки
параметрів інтервальної моделі методів локалізації, властивості множини оцінок
параметрів визначатимуться виключно особливостями застосованого методу
локалізації (допустимого оцінювання). Своєю чергою останній визначатиме
властивості інтервальних моделей статичної системи.
З іншого боку, у випадку відомих результатів інтервального експерименту (1.23)
та заданого методу локалізації, властивості інтервальних моделей визначатиме
структура функції , яка зв’язує вихід статичної системи із її входами і
фактично наближає дані експерименту.
Отже для забезпечення заданих властивостей інтервальних моделей при відомих
даних експерименту (1.23) актуальним є розгляд двох класів задач: задач синтезу
структури моделі “вхід-вихід” статичної системи при аналізі інтервальних даних
і наближення функцій із заданою точністю; задач порівняльного аналізу
властивостей інтервальних моделей статичних систем у випадку застосування
різних методів локалізації параметрів.
Методи розв’язування вказаних задач та приклади їх застосування, розглядаються
в даному розділі.
Аналіз властивостей інтервальних моделей статичних систем, з одного боку
дозволить обґрунтовувати вибір того чи іншого методу локалізації множини
параметрів моделі, а з іншого дослідити основну характеристику інтервальної
моделі – точність прогнозування.
Для проведення аналізу можливостей методів локалізації параметрів з точки зору
забезпечення заданих властивостей інтервальних моделей, виникає необхідність
розробки системи критеріїв оцінки цих методів. У підрозділі 1.4 для цих цілей
запропоновано побудувати критерії, засновані на аналізі точності інтервальної
моделі, яку забезпечує метод, аналітичності представлення функціональних меж
коридору моделей, а також на аналізі обчислювальних витрат для визначення
точності прогнозування чи напрямків зростання та спадання похибки
прогнозування.
За узагальнені критерії оцінки точності можуть слугувати - та -критерії
оптимальності планів інтервального експерименту, які задають, відповідно,
середню та максимальну похибку прогнозування інтервальної моделі на області
експерименту. Однак, застосування цих критеріїв на етапі обґрунтування вибору
методу локалізації є неможливим, оскільки вимагає побудови коридору
інтервальних моделей. До того ж, як відмічено у підрозділі 1.5, розрахунок
середньої та максимальної похибки прогнозування інтервальної моделі є
надзвичайно витратною обчислювальною процедурою.
Оскільки між прогнозним значенням виходу та параметрами в інтервальних моделях
статичних систем існує лінійна залежність, задана рівнянням (1.22), то в умовах
надзвичайної складності та високих обчислювальних витрат для розрахунку
середньої та максимальної похибки прогнозування інтервальної моделі, найбільш
раціональним є підхід, побудований на аналізі системи інтервальних рівнянь,
внаслідок якого можна зробити висновки про розміри та конфігурацію
локалізаційної множини параметрів і отримати наближену оцінку точності моделі.
Відповідно, для порівняння методів локалізації за критерієм забезпечення
максимальної точності інтервальних моделей, замість встановлення співвідношень
між похибками прогнозування, які вони забезпечують, використовуватимемо
співвідношення між оцінками розмірів множин локалізації.
2.1. Синтез структури моделі статичної системи при аналізі інтервальних даних
та наближення складних моделей простішими
При розв’язуванні задачі наближення складних моделей статичних систем
простішими у вигляді функції , як правило, висувають дві умови: з одного боку,
необхідно, щоб шукана функція мала певні математичні властивості (аналітичне
задання, диференційованість, опуклість і т.д.), була як найпростішою, а з
іншого боку, щоб її відхилення від заданих табличних даних не перевищувало
заданого значення [153].
Сформулюємо цю задачу математично.
Нехай існує деяка функція векторного аргументу , задана у табличному вигляді:
При цьому матриця включає скінчене число вузлів , у кожному з яких визначено
точне значення функції . Необхідно підібрати функцію так, щоб її відхилення від
функції у вузлах не перевищувало заданої величини, тобто [192]:
. (2.1)
У загальному випадку, якщо не висувати ніяких припущень стосовно класу функцій
до якого вона належить (поліноми, тригонометричні функції та ін.), підібрати
функцію досить важко. Переважно клас функцій визначається фізичними
властивостями системи.
Щоб зберегти єдиний підхід, надалі вважатимемо, що функція є заданого класу
(2.2)
Використовуючи формулу (2.2), перепишемо нерівності (2.1) у еквівалентному
вигляді
, (2.3)
де .
Порівнюючи систему нерівностей (2.3)