2
Оглавление
1 Введение 6
1.1 Обзорная часть ............................................ 6
1.2 Структура диссертации..................................... 14
2 Основные уравнения 15
3 Динамика невозмущенной системы 23
4 Расщепление гетероклинических орбит и теория Мельникова 28
4.1 Параметризация гетероклинических орбит.................... 29
4.2 Вычисление функции Мельникова............................. 32
**.2.1 Интеграл Д......................................... 34
4.2.2 Интегралы /2 и /3.................................. 35
4.2.3 Интеграл /4........................................ 35
4.3 Численные примеры......................................... 42
5 Разрушение инвариантных торов 48
5.1 Локальные координаты угол-действие........................ 48
5.2 Ренормгруппа ............................................. 55
5.2.1 Главные резонансы.................................. 55
5.2.2 Нормальная форма................................... 63
5.2.3 Ренормализационный оператор........................ 65
5.2.4 Пример............................................
6 Моделирование колебаний пластины методом конечных разностей
6.1 Конечноразностная схема.................................
6.1.1 Дискретизация переменных и полярная сингулярность
6.1.2 Конечноразностное представление производных . . .
6.1.3 Конечноразностная схема ..........................
6.1.4 Устойчивость, согласованность и сходимость схемы .
6.2 Локальные бифуркации в динамике идеальной круглой пластины .......................................................
6.2.1 Аналитические результаты.........................
7 Заключение
67
72
73
73
74
79
81
82
83
99
А Ренормализационный оператор Литература
102
105
4
Благодарности
Я счастлив выразить свою благодарность всем тем, кто помог мне в исследовательской работе и в написании этой диссертации.
Прежде всего, я глубоко признателен моему научному руководителю и учителю Профессору Ли Вон Кенг. Его терпение, преподавательский дар и вера в мои силы помогали преодолеть все трудности, встававшие на пути. Он явился для меня примером искренности, ответственности и успеха в научной и преподавательской работе. В совместной работе с моим учителем я учился отыскивать и ставить новые задачи, эффективно их решать, формулировать и излагать полученные результаты. Чуткость и теплое участие моего руководителя и его жены помогли мне жить и работать в Корее, понять и полюбить эту страну. Благодаря им годы, проведенные в Корее стали одним из ярчайших периодов моей жизни.
Я, так же, благодарен своим оппонентам и членам аттестационной комиссии: профессорам Им Пёнг Док, Ким Ёнг Чхоль, У Чжу Санг и Чанг Сонг Гак. Их конструктивные комментарии позволили углубить эту работу и яснее изложить ее результаты. Кроме этого, я хочу поблагодарить профессоров У Чжу Санг и Ким Сайг Тэ, а так же всех работников Центра Международных Программ Университета Ёнгнам, кафедры Машиностроения и отдела аспирантуры, чье участие помогали мне работать в Университете.
Хочу выразить искреннюю признательность моим коллегам по лабо-
ратории нелинейных вибраций и, в особенности, Ё Мёнг Хвану. Он оказал мне неоценимую помощь в адаптации к жизни в Корее.
Наконец, я хочу поблагодарить свою семью: моих родителей, родителей жены и жену Полину за их любовь, духовную поддержку и веру в мои силы.
Сергей Самойленко,
Декабрь 2005 г.
6
1. Введение
1.1. Обзорная часть
Нелинейная динамика и хаос стали в последние пару десятилетий весьма популярными областями исследования. Одной из наиболее интересных особенностей нелинейного поведения является его широчайшая распространенность, сочетающаяся с некоторыми универсальными закономерностями. Биология и механика, медицина и машиностроение, экономика и квантовая физика, вот лишь некоторые из многих дисциплин, где нелинейная динамика и концепция хаоса позволили получить принципиально новые и обобщающие результаты. Сложно назвать науку, которая не затрагивала бы нелинейных явлений. Доказательством тому служит множество книг, публикаций и междисциплинарных симпозиумов, посвященных нелинейной динамике и хаосу.
Методы анализа нелинейных систем позволяют по-новому взглянуть на давно изучаемые и хорошо известные объекты и существенно расширить наши знания об их поведении.
В данной работе рассматриваются нелинейные явления и хаос возникающие при взаимодействии колебательных мод такой простой с физической точки зрения механической системы, как круглая пластина.
В динамике многомерных систем, у которых две или больше натуральных частот близки друг к другу, наблюдаются весьма сложные и интересные
явления, если взять во внимание нелинейные свойства этих систем. Примером таких систем могут быть упругие пластины.
В числе первых исследований нелинейных вибраций круглой пластины следует отметить работы Тобиаса и Уильямса /1,2/. В них рассматриваются нелинейные вибрации неидеальной пластины, лишенной демпфирования, на которой действует гармоническое возмущение.
Локальные бифуркации возникающие при взаимодействие колебательных мод в случае внутреннего резонанса были детально изучены многими исследователями. Сридхар и др. /3/, а так же Хадиан и Найфэ /4/ описали аксиальносимметричные отклики круглой пластины при взаимодействии трех мод. Ли и Ким /5/ исследовали комбинированные резонансы пластин. Сридхар с коллегами /6/ вывел условия разрешимости (solvability conditions) для несимметричного отклика круглой пластины в случае, когда взаимодействуют четыре моды колебаний. Найфэ и Вакакис /7/ обнаружили, что откликом круглой пластины на гармоническое возмущение может являться субгармоническая бегущая волна. Ли и Ё /8/ обнаружили, что условие разрешимости, выведенные Сридхаром содержат ошибку и исправили ее. Основываясь на исправленных условиях разрешимости Ли и Ё /9/ описали взаимодействия колебательных мод круглой пластины на эластичном основании в случае внутреннего резонанса 1:3. Ли и коллеги /10/ исследовали модальные взаимодействия для различных колебательных мод круглой пластины. Тузэ, Томас и Шэнь /11,12/ представили детальное теоретическое и экспериментальное исследование асимметричных колебаний леидеальной круглой пластины в случае внутреннего резонанса 1:1.
Во многих динамических системах самой различной природы наблю-
даются так называемые глобальные бифуркации. Такие бифуркации приводят к существенным изменением поведения динамических систем и, зачастую, лежат в основе возникновения хаоса. Фенги Сетна /13/ исследовали глобальные бифуркации связанные с расщеплением гомо- и гетероклини-ческих орбит в гамильтоновых системах /14/. Ковачич и Виггинс /15/, используя модернизированный метод Мельникова, сформулировали необходимые условия существования гомоклинической орбиты Шильииковского типа для возмущенных гамильтоновых систем. Раман и Мот /16/ исследовали глобальные бифуркации и хаос в динамике неидеальной вращающейся пластины. Они описали явление удвоения периода/17, 14/, приводящее к странному аттрактору Рёсслеровского типа и явления пограничного кризиса. Е и Ли /18/ применили метод, предложенный Ковачичем и Виггинсом для исследования взаимодействий колебательных мод круглой пластины. Они получили достаточные условия для возникновения Шильниковско-го хаоса /14/, однако зафиксировать это явление в численном эксперименте им не удалось.
Разрушение инвариантных торов является одним из ключевых механизмов приводящих к хаосу в гамильтоновых системах. Это явление играет существенную роль в поведении гамильтоновых систем при установившемся режиме /19, 20, 21, 22/. Рассмотрим динамику двумерной вполне интегрируемой гамильтоновой системы, имеющей функцию Гамильтона Щ. Теорема Лиувилля-Арнольда гласит, что если поверхности описываемые уравнением Щ = /г компактны, то они расщепляются на двумерные инвариантные торы /19, 17, 22/. Траектория системы, принадлежащая инвариантному тору совершает периодические движения в двух со-
пряженных направлениях. Частоты этих движений, характеризующие инвариантный тор,-мы будем называть частотами инвариантного тора. Используя особую систему координат, так называемую систему угол-действие: (/], /2,01,02) мы можем представить частоты инвариантного тора как (ыьод) = (дНо/дІі,дН0/дІ2). Назовем вектор (од,^) вектором частот инвариантного тора. Отношение частот IV = од/а>2 называется числом вращения инвариантного тора. Необходимо различать торы с рациональными и иррациональными числами вращения. Инвариантные торы с рациональным числом вращения IV = р/я, р,я Є Ъ называются резонансными инвариантными торами, соответствующими резонансу — паре целых чисел (р, я). Тор с иррациональным числом вращения называется нерезонансным или иррациональным тором.
Поведение резонансных инвариантных торов при наличии возмущения описывается теоремой Пуанкаре—Биркхоффа /20, 23, 22/. Отображение Пуанкаре резонансного тора представляет собой множество периодических орбит отображения. Под воздействием возмущения большинство этих периодических орбит исчезает, однако часть из них сохраняется. Теорема Пуанкаре—Биркхоффа гласит, что род действием возмущения сохраняется четное количество периодических орбит отображения Пуанкаре. Половину этих орбит составляют эллиптические орбиты, другую половину— гиперболические. Эта теорема объясняет структуры, наблюдаемые в сечениях Пуанкаре неинтегрируемых Гамильтоновых систем. Эллиптические периодические орбиты оказываются окруженными так называемыми «.островами» упорядоченного движения, которое соответствует финитному движению /24/. Характерный размер «островов» зависит от возму-
- Киев+380960830922