ГЛАВА 2. ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ АВТОФАЗНОЙ ЛАМПЫ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ С АЗИМУТАЛЬНО-НЕСИММЕТРИЧНЫМ ПОЛЕМ.
Предисловие
В [31-34, 35] разработана нелинейная теория автофазной лампы бегущей волны с азимутально-несимметричным полем в замедляющей системе (АЛБВ-Н) и проведён физический и численный анализ различных вариантов таких приборов. Показано, что путем профилирования фокусирующего магнитного поля или/и фазовой скорости может быть получен КПД до 90%. Законы профилирования фазовой скорости и фокусирующего магнитного поля были получены в этих работах из условий устойчивости движения электронных осцилляторов в сгустке [96]. Эти условия, однако, оставляют достаточно большой произвол в выборе законов профилирования. Проанализированный в [33, 34, 96] режим работы не является оптимальным с точки зрения возможности получения максимальной величины погоного коэффициента усиления АЛБВ-Н при высоком значении КПД.
В данной главе на основе приближенной нелинейной теории АЛБВ-Н, изложенной в главе 1, проводится поиск законов профилирования фокусирующего магнитного поля или/и фазовой скорости, которые позволяют получить значительно большой коэффициент погоного усиления ВЧ сигнала, без нарушения условий устойчивости движения электронных осцилляторов в сгустке и без уменьшения КПД прибора.
2.1. Анализ условий устойчивости нелинейных осцилляторов
Рассмотрим периодическую во времени последовательность протяженных электронных сгустков, захваченных продольной составляющей электрического поля (Е) бегущей электромагнитной волны большой амплитуды и распространяющихся вдоль оси z в статическом продольном соленоидальном магнитном поле В, ориентированном в направлении этой оси. Будем считать, что фазовая скорость волны vф и индукция магнитного поля В являются медленно меняющимися функциями от z, такими, что можно положить величину ?(z)=0. В [1] было показано, что такой режим работы эквивалентен соответствующему режиму в автофазной ЛБВ со статическим электрическим полем.
, (2.1)
где ? - круговая частота сигнала, n - азимутальное волновое число (n = 0, ±1, ±2,...), - угловая скорость вращения пучка в статическом магнитном поле при полной экранировке катода от этого поля;
? = e/m0 - отношение заряда электрона к его массе покоя;
h0 (z) = ?/ vф (z) - продольное волновое число. При принятых допущениях приближенные нелинейные уравнения АЛБВ-Н, сформулированные в предыдущей главе, принимают следующий вид:
,
, (2.2)
, (2.3)
, (2.4)
. (2.5)
Здесь t - текущее время; ?=2?/Те, Те - период колебаний осциллятора; - комплексная амплитуда, а Е и arg - модуль и фаза ВЧ поля Е0 - начальное значение Е; X0 - фаза положения равновесия осциллятора по отношению к полю бегущей волны; q - амплитуда осциллятора и q0 - её начальное значение; ?0 - начальное значение ?; І0 - полный ток невозмущенного потока; R = E2/2P - параметр связи в ЗС (Р - поток мощности через поперечное сечение ЗС; - сопротивление связи ЗС; , - скорость невозмущенного потока электронов); J0( x ), J1( x ) - функции Бесселя.
Условия устойчивости движения осциллятора соответственно записываются так:
(2.6)
, , . (2.7)
Уравнения (2.1 - 2.7) и будут исходными для дальнейшего анализа.
Из формул (2.7) видно, что угол ? является углом сдвига центра сгустка по отношению к минимуму поля волны на переходе из ускоряющей фазы в тормозящую. Если обозначить, в соответствии с [31],
, то . (2.8)
Продифференцируем уравнение (2.5) по z:
, или
.
С учетом (2.7) это уравнение записывается так:
. (2.9)
Исключая из (2.2-2.4) ? и Х0, получаем следующее уравнение:
. (2.10)
Так как в (2.10) в правой части стоит постоянная величина, то при увеличении Е (т.е. при усилении поля бегущей волны) должны уменьшаться величины q или/и cos ?.
В работах [39-41] был проанализирован режим работы
,
для которого (2.9) принимает следующий вид:
. (2.11)
(здесь учтено соотношение (2.8).
Для того чтобы увеличить погонный коэффициент усиления, необходимо, не нарушая условий устойчивости (2.6 - 2.7), выбрать sin ? таким, чтобы правая часть уравнения (2.9) была больше правой части в (2.11). Это можно сделать, например, положив
. (2.12)
Система уравнений при этом преобразуется в следующую:
, (2.13)
. (2.14)
При этом из (2.14) следует, что рост Е возможен только при уменьшении q (т.е. при сжатии пакета осцилляторов), а из (2.13) видно, что с уменьшением q правая часть этого уравнения увеличивается по сравнению с её начальным значением, равным правой части уравнения (2.11). Следовательно режим профилирования в соответствии с (2.12) является более эффективным, чем рассмотренный в
[39-41].
2.2. Приближенная нелинейная теория режима (2.12)
Для совместного решения уравнений (2.13), (2.14) воспользуемся представлением функции Бесселя J0(q) и J1(q) в форме рядов Тейлора по q:
; . (2.15)
Отбрасывая в (2.15) члены со степенями выше второй, получаем из (2.13), (2.14) следующую систему уравнений:
, (2.16)
. (2.17)
Исключая из (2.16) и (2.17) q, получаем
. (2.18)
Решение уравнения (2.18) может быть записано так:
. (2.19)
Подстановкой интеграл в правой части (2.19) приводится к интегралу от дробно-рациональной функции
, (2.20)
который может быть выражен через элементарные функции.
2.2.1 Анализ физических процессов в АЛБВ-Н
Из (2.17) получаем зависимость
. (2.21)
Из (2.7) и (2.12) , т.е. с учетом (2.21)
, (2.22)
. (2.23)
Подставляя (2.21) в (2.18), получаем
. (2.24)
Соответственно, соотношение (2.20) с учетом (2.18) примет следующий вид:
(q 1.7). (2.25)
Соотношение (2.21) - (2.25) дают решение постановленной задачи в параметрической форме, где роль параметра играет амплитуда колебаний осциллятора q (равная полуширине сг