Оптимізація режимів роботи автофазних приладів надвисоких частот

ГЛАВА 2. ОПТИМИЗАЦИЯ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ АВТОФАЗНЫХ ПРИБОРОВ СВЧ
Предисловие
В предыдущих работах [17], [117] была исследована оптимизация механизмов
взаимодействия электромагнитной волны и электронного потока в АЛБВ с
азимутально-симметричным полем. Задача оптимизации состояла в поиске такой
зависимости амплитуды внешнего электростатического поля от продольной
координаты, для которой дифференциальный коэффициент усиления является
максимальным при заданных входных условиях и при выполнении условия
устойчивости. При помощи классического вариационного метода было найдено
параметрическое решение задачи оптимизации.
Автофазная лампа бегущей волны (АЛБВ-Н) с азимутально-несимметричным ВЧ-полем
предложена в [31,32]. Высокий электронный КПД АЛБВ-Н достигается путем
длительного удержания захваченных электронных сгустков преимущественно в
тормозящей фазе ВЧ-поля волны, которое оказывается возможным благодаря
адиабатическому изменению (профилированию) фазовой скорости волны и/или
фокусирующего магнитного поля вдоль длины прибора. В [35] показано, что выбор
законов профилирования ограничивается только условиями устойчивости захвата
сгустков электронов электромагнитной волной. В [36,37,38,120] развита строгая
нелинейная теория различных модификаций АЛБВ-Н, в которых показано, что КПД
таких приборов достигает 80-90%. В этих работах был использован изофазный режим
работы, когда профилирование выбирается из условия постоянства фазы сгустка по
отношению к полю волны. Хотя такой режим работы АЛБВ-Н позволяет получить
высокие значения КПД, однако дифференциальный коэффициент усиления в этом
режиме оказывается достаточно низким.
В данной главе на основе вариационного метода исследуется оптимизация
преобразования энергии в нерелятивистских автофазных приборов СВЧ, состоящая в
поиске наилучших законов профилирования, удовлетворяющих условиям устойчивости
захваченных сгустков электронов с учетом поля объемного заряда и приводящих к
максимальным значениям дифференциального коэффициента усиления приборов.
2.1. Оптимизация преобразования энергии в АЛБВ с азимутально-симметричным полем
с учетом поля объемного заряда
Закон изменения статического поля при автофазном механизме преобразования
энергии (с учетом поля объемного заряда) в значительной мере произвольный и
ограничивается только условием устойчивости движения осцилляторов [114] .
где - амплитуда поля бегущей волны, - амплитуда внешнего статического поля, -
постоянная поля объемного заряда, - амплитуда осциллятора.
При этом естественно возникает задача оптимизации автофазного механизма путем
поиска оптимальной зависимости , для которой эффективность энергообмена
максимальна.
Для решения этой задачи можно использовать вариационный метод [117], [118].
Исследуем оптимизацию при , . Исходная система нелинейных уравнений имеет вид:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
, ().
(2.4)
Здесь -наибольшая амплитуда осцилляторов в сгустки в точке (- фазовая ширина
сгустка).
Задача оптимизации в случае усилителя состоит в поиске такой зависимости (),
для которой дифференциальный коэффициент усиления является максимальным при
заданных входных условиях и при выполнении условия устойчивости (2.4).
Будем искать оптимальный закон изменения среди зависимостей, для которых
является монотонно меняющейся функцией. При этом в качестве функционала удобно
выбрать длину , на которой получается данное усиление:
(2.5)
В общем случае подобная вариационная задача (в виду наличия ограничений в виде
неравенств (2.4)) может быть решена при помощи принципа максимума Понтрягина
[119]. В данном случае вариационная задача может быть сведена к более простой
классической вариационной задаче [118]. Для этого введем новую переменную
величину по формуле
. (2.6)
При этом уравнения (2.2) и (2.3) записываются так:
(2.7)
где ,
где .
При помощи (2.5) и (2.7) исходная вариационная задача приводится к виду:
(2.8)
(2.9)
где (-постоянная, зависящая от начальных условий).
Неравенство (2.4) выполняется автоматически, так как всегда меньше единицы.
Уравнение (2.9) является дополнительной связью между величинами и . Следуя
общему правилу [114], составим вспомогательный функционал.
(2.10)
где - вспомогательная функция.
Уравнения Эйлера для функционала (2.10) имеют вид:
(2.11)
Здесь везде штрих обозначает дифференцирование по .
Исключая из (2.11) , получаем:
(2.12)
Используя известные соотношения:
; ,
представим уравнение (2.12) в следующем виде:
Из (2.9) найдем и, учитывая, что , получим
, (2.13)
где
, , ,
- задаваемая постоянная, зависящая от начальных условий.
Величины , , также могут быть записаны как функции от :
(2.14)
(2.15)
(2.16)
где .
(2.17)
Для совместного решения уравнений (2.6), (2.7) воспользуемся представлением
функции Бесселя и в форме рядов Тейлора по :
, . (2.18)
Отбрасывая в (2.18) члены со степенями выше второй, получаем из (2.6), (2.7)
следующую систему уравнений:
, (2.19)
. (2.20)
Уравнения (2.13)-(2.17), (2.19), (2.20) представляют собой решения вариационной
задачи в параметрической