ГЛАВА 2
МЕТОДИКИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ИЭЛ ВТР
2.1 Математические методы и алгоритмы, используемые при формировании моделей
электронно-оптических систем
2.1.1 Обобщенное математическое описание потоков заряженных частиц в
электромагнитных полях с использованием уравнений математической физики
Рассмотрим методы формирования функциональных моделей ЭОС ВТР в соответствии
с их принадлежностью к иерархическим уровням, приведенным в параграфе 1.3.
При этом будем ориентироваться на существующие аналитические и численные
методы, используемые для описания потоков заряженных частиц в электрических и
магнитных полях. На основе этих методов строятся модели ЭОС микроуровня и
макроуровня [153]. Модели ЭОС метауровня формируются на основе моделей
макроуровня с использованием методов теории аппроксимации, и будут рассмотрены
в разделе 2.2.
Модели потоков заряженных частиц при их описании на микроуровне связаны с
анализом траекторий движения частиц и их взаимодействий. При этом
учитываются элементарные и коллективные взаимодействия частиц и
распределение их начальных скоростей. Такая модель потоков называется также
дискретной моделью [153, 200].
Для записи дискретной модели потока используют уравнения траекторий частиц в
форме Ньютона, Лагранжа или Гамильтона, и уравнения электромагнитного поля в
форме Максквелла. В общем случае релятивистское уравнение движения заряженных
частиц в электрическом и магнитном полях в форме Ньютона имеет вид [59, 70, 71,
139, 200]:
(2.1)
где – релятивистский импульс, m – масса покоя частицы, q – ее заряд, v – вектор
скорости, E – вектор напряженности электрического поля, B – вектор индукции
магнитного поля, c – скорость света в вакууме. Учет релятивистской
составляющей необходим при анализе движения встречно направленных электронных
и ионных потоков в условиях компенсации пространственного заряда, что
соответствует физическим условиям горения ВТР [147, 157].
Электрическое и магнитное поля в общем случае находятся из системы уравнений
Максвелла [70, 71, 200, 178, 190]:
, , , , (2.2)
где и – электрическая и магнитная постоянные, – объемная плотность зарядов,
создающих электрическое поле, j – плотность токов, создающих магнитное поле.
Уравнения вида (2.3), (2.4) используются для формирования моделей потока на
микроуровне, в частности, модели макрочастиц и модели трубок тока, которые
будут рассмотрены с параграфе 2.1.2.
В другом предельном случае рассматривается обобщенная макромодель потока
заряженных частиц. При отсутствии столкновений в стационарном режиме
плотность частиц в фазовом пространстве f (x,y,z,vx,vy,vz) в окрестности
данной частицы, согласно теореме Лиувилля, при ее движении не меняется, то
есть . Из закона сохранения плотности частиц в фазовом пространстве следует
уравнение Власова – кинетическое уравнение с самосогласованным полем, которое
описывает состояние среды в стационарном режиме без учета столкновений между
частицами [82, 178]:
, (2.3)
где f – функция распределения плотности заряженных частиц, E – напряженность
самосогласованного поля, которое включает в себя и внешнее поле и собственное
кулоновское частиц в потоке. Кроме того, для полноты описания потока к
уравнению (1.5) необходимо добавить соотношения, выражающие плотность
объемного заряда и плотность тока через фазовую плотность частиц:
, (2.4)
.
В случае движения в статических полях, для построения функции f используется
также интеграл энергии, являющийся следствием закона сохранения:
. (2.5)
При прохождении пучка заряженных частиц через разреженную нейтральную среду,
например, через газ или плазму, уравнение Власова преобразуется в кинетическое
уравнение Больцмана, которое определяет влияние плотности среды на движение
потока частиц с учетом столкновения частиц потока с частицами среды, которое
может сопровождаться рождением новых частиц, составляющих поток [82, 178]:
, (2.6)
где S - интенсивность источника частиц, – оператор столкновений, или интеграл
столкновений, который описывает влияние плотности среды, в которой
распространяется поток, на его параметры. Кинетическое уравнение позволяют
описывать также потоки, в которых необходимо учитывать разброс заряженных
частиц по скоростям. При этом в любой точке пространства, занятого потоком,
имеются частицы с различными по величине и направлению скоростями. Такой
подход к анализу потоков заряженных частиц называется кинетическим [24, 200].
Однако, в общем случае, при переходе к координатам и скоростям, кинетическое
уравнение (2.6) представляют собой систему уравнений в частных производных с
семью независимыми переменными, три из которых, а именно – компоненты
скорости, изменяются в бесконечном интервале. Кроме того, формулы (2.4)
для и j представляют собой трехмерные интегралы от функции распределения по
неограниченному пространству скоростей. Ясно, что в такой постановке
аналитическое или численное решение уравнений (2.3)-(2.6) весьма
затруднительно, поэтому модель описания потока с их использованием
применяется только в упрощенных задачах моделирования ЭОС, когда число
независимых фазовых переменных сводится к двум, то есть для одномерных
стационарных задач [24]. Однако кинетический подход очень важен с
теоретической точки зрения, поскольку на его основе формируется более
простое, гидродинамическое описание потоков заряженных частиц
- Київ+380960830922