РАЗДЕЛ 2
ОБОБЩЁННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСТРИЙНЫХ СТРУКТУР.
2.1. Численное моделирование острийных структур.
При расчёте приборов (диодов и триодов) с острийным катодом на основе АЭЭ
использовались 2 основных метода расчёта:
для расчёта статических характеристик использовалось решение уравнения Лапласа
совместно с уравнением Фаулера-Нордгейма с последующим интегрированием
плотности тока по поверхности катода.
для получения динамических характеристик использовалось решение уравнения
Лапласа (Пуассона) с последующим решением уравнения непрерывности. При этом
граничные условия по плотности тока рассчитывались по формуле
Фаулера-Нордгейма.
Моделирование таких приборов включает в себя следующие задачи:
расчёт распределения потенциала и напряжённости электрического поля, при этом
для приборов на основе покрытого слоем диэлектрика острийного катода должен
учитываться скачок напряжённости электрического поля на границе раздела сред
диэлектрик/вакуум. Эта задача решается при помощи уравнения Лапласа
(Пуассона);
расчёт тока эмиссии с катода. Рассчитывается при помощи формулы
Фаулера-Нордгейма;
расчёт распределения плотности тока в пространстве. Рассчитывается при помощи
уравнения непрерывности, при этом в качестве граничных условий используется
плотность тока автоэлектронной эмиссии;
Лапласиан и дивергенция в криволинейной ортогональной системе координат.
Решение уравнений Лапласа и Пуассона требует задания граничных условий. Эти
граничные условия выражаются аналитически наиболее просто в том случае, когда
форма граничных поверхностей соответствует системе координат, используемой для
решения задачи.
Рассмотрим некоторую ортогональную криволинейную координатную систему x, h, V.
Дивергенция и лапласиан для такой системы координат имеет следующий вид [23]:
(2.1.1)
(2.1.2)
где (2.1.3)
(2.1.4)
(2.1.5)
Гиперболическая система координат.
Рассмотрим теперь выражения (2.1.1 – 2.1.5) для системы координат вытянутых
эллипсоидов вращения (гиперболической системы координат).
Гиперболическая система координат [24] s, t, j есть ортогональная система
софокусных эллипсоидов и гиперболоидов вращения, образованных системой
ортогональных софокусных эллипсов и гипербол (рис.2.1.1) с фокусами F, F’ при
вращении этой системы вокруг продольной оси (P’OP).
Рис.2.1.1. Ортогональная система софокусных эллипсов и гипербол.
Такая система координат особенно удобна для задания граничных условий при
расчётах острийных структур, поскольку геометрия как диодных, так и триодных
структур может быть представлена координатными поверхностями [54].
На рис.2.1.2 показано, как в гиперболической системе координат могут быть
представлены диодная структура на основе металлического или полупроводникового
высоколегированного острия (рис.2.1.2а), диодная структура на основе покрытого
слоем диэлектрика металлического или полупроводникового высоколегированного
острия (рис.2.1.2б), триодная структура на основе металлического или
полупроводникового высоколегированного острия (рис.2.1.2в), триодная структура
на основе покрытого слоем диэлектрика металлического или полупроводникового
высоколегированного острия (рис.2.1.2г), триодная структура на основе покрытого
слоем диэлектрика металлического или полупроводникового высоколегированного
острия с осаждённой непосредственно на катод сеткой (рис.2.1.2д).
Координатные поверхности такой системы координат можно определить следующим
образом:
(вытянутые эллипсоиды вращения)
(двуполостные гиперболоиды вращения)
(полуплоскости, проходящие через ось Oz)
рис.2.1.2а
рис.2.1.2б
рис.2.1.2в
рис.2.1.2г
рис.2.1.2д
Все эллипсоиды и гиперболоиды имеют общие фокусы (0,0,a) и (0,0,-a); сумма и
разность фокальных радиусов равны соответственно 2as и 2at.
Преобразование к координатам вытянутого эллипсоида вращения осуществляется
следующим образом:
(2.1.6)
z=ast
При расчёте геометрических параметров исследуемых приборов особый интерес
представляет радиус кривизны поверхности острия. Радиус кривизны плоской линии
z(x) определяется по формуле [25]:
Уравнение некоторой гиперболы t в плоскости x0z (y=0) имеет следующий вид:
На острие x=0
Таким образом, радиус кривизны гиперболоида при x=0 определяется выражением:
(2.1.7)
Выведем для данной системы координат коэффициенты hs ht hj
По аналогии с рассмотренной выше обобщённой ортогональной криволинейной
системой координат выражения для дивергенции и лапласиана для гиперболической
системы координат имеют следующий вид:
(2.1.8)
(2.1.9)
По аналогии с (2.1.3 – 2.1.5) очевидно, что
После несложных преобразований получим
Произведя аналогичные преобразования, получим
Соответственно выражение для дивергенции и лапласиана примут следующий вид:
(2.1.10)
(2.1.11)
В нашем случае система аксиально симметрична, т.е. . С учётом аксиальной
симметрии формулы для градиента и дивергенции в гиперболической системе
координат примут следующий вид:
(2.1.12)
(2.1.13)
Составляющие напряжённости электрического поля определяются как:
(2.1.14)
Тогда величину напряжённости электрического поля можно определить как:
(2.1.15)
На оси структуры s=1. Таким образом, на оси структуры
(2.1.16)
Разностная схема для уравнения Лапласа (Пуассона)
Как известно, уравнение Лапласа (Пуассона) имеет следующий вид:
- уравнение Лапласа
или - уравнение Пуассона
где U – электрический потенциал, e - относительная диэлектрическая
проницаемость, e0=8.85Ч10-14 ФЧсм-1 – диэлектрическая постоянная вакуума. С
учётом используемой системы координат уравнение Лапласа (Пуассона) примет
следующий вид:
(2.1.17)
(2.1.18)
(2.1.19)
Для решения ур
- Київ+380960830922