РОЗДІЛ 2
СИНТЕЗ КОМПЛЕКСУ МОДЕЛЕЙ
ФОРМУВАННЯ ПОРТФЕЛЯ ОБЛІГАЦІЙ
2.1 Моделі формування портфеля облігацій за умов збіжних, лінійно-залежних і
різних процентних ставок
Відповідно до запропонованого концептуального підходу формування портфеля
облігацій у цьому параграфі розглянуті окремі важливі етапи: розроблено моделі
формування портфеля облігацій за умов збіжних, лінійно-залежних і різних
процентних ставок. Розглянемо побудову такого портфеля облігацій з урахуванням
ринкової ціни і процентної ставки.
Портфель облігацій становить собою набір активів. Під активом мають на увазі їх
вид або тип, тобто облігацію. Для створення портфеля облігацій необхідно
зазначити його склад, тобто кількість активів (облігацій) різних видів, що
входять у портфель. Існує два методи задання портфеля: абсолютний і відносний.
За допомогою абсолютного способу портфель облігацій задається структурним
вектором
,
де - початковий інвестований капітал,
xk - кількість k – го виду облігацій,
Pk – початкова ціна k – го виду облігацій.
В інвестиційному аналізі частіше застосовується інший, відносний метод опису
портфеля. Портфель облігацій задається вектором відносних ваг (часткою) кожного
виду облігацій . Розділимо обидві частини останнього співвідношення на :
.
Позначимо частку облігацій -го виду через . Обмеження є основним обмеженням,
якому задовольняє вектор, що представляє портфель. Однак це не всі обмеження.
Так, виходячи з визначення ваги як співвідношення вартості активів даного виду
до загальної вартості портфеля , можна зробити висновок, що вага не від’ємна,
тобто для всіх облігацій к-го виду, .
Портфель, заданий відносним методом, називається стандартним. Інвестор з
кожного актива облігацій перебуває в довгій (long) позиції. Довга позиція – це
покупка активу облігації з наміром його наступного продажу (закриття позицій).
Така покупка звичайно здійснюється за очікування підвищення ціни активу
облігації в надії одержати доход від різниці цін купівлі і продажу.
Розглянемо побудову портфеля безкупонних облігацій відносним методом з
урахуванням ринкової ціни і процентної ставки. Ринкова ціна P(t,T) і процентна
ставка r(t)=(r(t))tі0 у роботі розглядаються як випадкові процеси, що
розвиваються в моменти часу 0 Ј t Ј T . Ринкова вартість облігації флуктуює у
часі. Це значення складається в результаті дії численних економічних факторів:
попиту та пропозиції, величини процентних ставок інших цінних паперів,
спекулятивних дій і т.п.
У роботі розглянуто окремі випадки формування портфеля облігацій, коли
процентні ставки різних видів облігацій збігаються (визначаються середньою
ринковою процентною ставкою) і коли наявна «основна» чи «базова» процентна
ставка з деяких видів облігацій, а процентні ставки з інших видів лінійно
виражаються через «базову». Становить інтерес загальний випадок формування
портфеля облігацій, коли в різних видів облігацій процентні ставки різні.
Розглянемо окремі випадки формування портфеля облігацій за збіжних і лінійно
залежних випадкових процентних ставок. При цьому економічна постановка задачі
має такий вигляд.
Інвестор на даний (нульовий) момент часу володіє капіталом . Він має можливість
укласти свій капітал в облігації видів з номіналами цінами і моментами
погашення і сформувати портфель. Необхідно знайти значення - частку облігацій
к-го виду, що мінімізує ризик портфеля , за умови, що забезпечується середнє
значення прибутковості і , .
Портфель облігацій, як і інші портфелі цінних паперів, характеризується
очікуваною прибутковістю і ризиком портфеля. Прибутковості активів і складені з
них портфелі є випадковими величинами. Ризик портфеля теж є випадковою
величиною [99, 108]. Ризик можна вирахувати, якщо відомі коваріації між
прибутковістями.
Для визначення прибутковості і ризику портфеля облігацій знайдемо середню
прибутковість, ціну облігацій к-го виду, з урахуванням випадкової зміни ціни,
процентної ставки. Далі навнедено математичний інструментарій, необхідний для
одержання прибутковості і ризику портфеля облігацій.
Нехай ціна однієї облігації k-го виду . Будемо думати, як і в [138, с. 904], що
динаміка цін облігацій описується моделями, що піддаються аналітичному
розгляду, для яких справедливе зображення
, (2.1)
де , функції і - невипадкові. Стохастичні процентні ставки задаються моделлю
Васичека [171], тобто, є рішеннями рівнянь виду:
(2.2)
де ak, bk, ck – константи, , tі0 – стандартний вінерівський процес, що грає
роль «джерела випадковості» [17].
Запишемо формулу (2.2) поіншому:
де – довгострокова «цільова» (очікувана) прибутковість, bк, cк –
коефіцієнти адаптації поточної прибутковості. Коефіцієнт bк відіграє роль
середньої швидкості наближення поточної прибутковості до величини . Умова bк>0
означає, що ставка прибутковості поступово наближається до свого цільового
значення.
Використовуючи наступний оператор одержимо функції і для формули (2.1). Нижче
наведено математичний інструментарій необхідний для одержання коефіцієнтів, і .
Оператор є зворотним оператором процесу , що задовольняє стохастичному
диференціальному рівнянню (2.2):
.
Як відомо з [138], в умовах безарбітражного ринку ціна задовольняє рівнянню, що
належить до класу рівнянь Фейнмана–Каца:
. (2.3)
Перепишемо рівняння (2.3) у вигляді:
. (2.4)
Виконано крайову умову: . Будемо шукати рішення рівняння (2.4) у вигляді:
(2.5)
з невипадковими функціями . Підставимо (2.5) у (2.4) і скоротимо обидві частини
отриманого співвідношення на , одержимо
.
і одержимо спів
- Київ+380960830922