Оглавление
1 Линейный анализ. Уравнение состояния и Ьо-корректность по Чспмену-Энскогу. 14
1.1 Постановка задачи и гипотеза Ченмена-Энскога. Сведение к матричному квадратному уравнению...................................14
1.2 Построение решения матричного квадратного уравнения при
|А| Ф 0.......................................................15
1.3 Обобщение на случай необратимой матрицы А. Явная формула
для решений и их число........................................20
1.3.1 Явная формула для решений матричного уравнения Ри-катти.........................................................20
1.3.2 О числе решений.........................................22
1.4 Непрерывность решений матричного квадратного уравнения. . 26
1.5 Уравнение Ляпунова и метод построения корректора (полное разделение динамик)................................................29
1.6 Пример: существование полного разделения динамик для гиперболической регуляризации уравнения Хопфа........................33
1.7 Разложение решения в сумму трех слагаемых. Определение Ао-корректности по Чепмену-Энскогу....................................34
1.8 Условие щели и существование притягивающего многообразия. 35
1.9 Ослабление жесткого условия щели. Условие согласования носителей для начальных данных.......................................43
1.10 Ослабление жесткого условия щели. Равномерное условие вырожденной щели.....................................................40
1.11 Ослабление жесткого условия щели. Условие разделения фаз. . 48
1.12 Примеры задач, для которых существует разделение динамик,
но пет притяжения решений.....................................50
2 Проекция Ченмена-Энскога в нелинейном случае. 51
2
2.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения...............51
2.2 Метод последовательных приближений............................57
2.3 Построение нелинейного оператора проекции Чепмена-Энскога. 02
2.3.1 Случай слабой нелинейности..............................02
2.3.2 Болес общий случай......................................00
2.4 Свойства нелинейного проектора.................................07
3 Приложения и дополнительный анализ. 71
3.1 Гиперболическая регуляризация системы уравнений Максвелла. 71
3.2 Двумерная 13-момептная система................................74
3.2.1 Стационарное решение....................................75
3.2.2 Линейный анализ.........................................75
3.2.3 Дисперсионное уравнение.................................70
3.2.4 Собственные вектора и собственные значения, стационарный случай.................................................78
3.2.5 Анализ свойств собственных значений, стационарный случай........................................................80
3.2.0 Существование специального собственного подпространства, стационарный случай................................81
3.2.7 Выбор класса начальных данных и утверждения о Ьо-
корректности...........................................83
3.3 Случай трехдиагональных матриц................................84
3.3.1 Простейшие свойства трехдиагоиальных систем.............84
3.3.2 Существование специального собственного подпространства для трехдиагоиальных систем.........................85
3.3.3 Условия существования проектора, обладающего свойством /^-корректности по Чепмену-Эиекогу......................88
3.4 Связь энтропии с существованием сим метризатора, для нормализованной системы законов сохранения..............................90
3.5 Пострение энтропии для системы из пяти уравнений, одномерный случай 91
З.Г) Квантование...................................................99
3
Введение
Диссертации посвящена исследованию поведения на больших временах решений задачи Коши для гиперболических регуляризаций законов сохранения (в терминологии C. Bardos) или систем законов сохранения с релаксацией (в терминологии Gui-Qiang Chen, Levermorc C. D) см. например [7]. В одной из последних работ Максвелла была поставлена задача вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов, т.е. системы уравнений Навье-Сгокса сжимаемой жидкости из кинетического уравнения. Л. Больцман в статье 110 максвелловском методе вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов" делает следующее предположение: "явствует с очевидностью, что незадолго до смерти он, должно быть, предпринял длинное и детально разработанное исследование итого вопроса, которое, однако, не было опубликовано." Насколько известно, если это исследование и существовало. то гак и осталось в виде рукописей. Важность подхода Максвелла была понятна специалистам высокого уровня, каким, безусловно, был Больцман, но могла быть не оценена "широкой научной общсственостыо". Повторит!» вычисления, о которых говорит Больцман, физикам, по видимому, в то время не удалось, поскольку первая работа Чепмена, в которой ставилась та же задача и проводился анализ интеграла столкновении появилась спустя 28 лот после указанной статьи Больцмана (и через 43 года после самой работы Максвелла). Задача вывода уравнений гидродинамики из кинетической теории газов определила математические проблемы кинетики для гиперболических регуляризаций законов сохранения:
dtUx + div* f'(uyv) = 0, i— 1,..., т. (1)
dtVk + div* ffk{u, v) 4- bk(u)v = 0, к = m + 1,..., N.
Здесь x € R4*, u(Xyt) : R(/ xR+^ Rm, v{x, t) : R(i x R+ —> RjV_m, b - матрица релаксации порядка (N — rri) x (N — m), потоки
/'(и, v) 6 Rd, i— 1,.... m; gk(u, v) e Rrf, к = 1,..., N — rn,
4
и - консервативные переменные, v - неравновесные переменные, т - число консервативных переменных . Главная часть системы (1) - нестрого гиперболична:
Определение. Система называется нестрого гиперболической, если характер истине скал матри и,а
имеет только вещественные (возможно кратные) корни т = Tj(£9u,v), j —
Это условие выполнено, если система (1) - симметризуема. Примерами таких систем являются моментыме аппроксимации кинетических уравнений (например, кинетического уравнения Больцмана, описывающего неравновесные процессы гидродинамики, Фоккера-Планка, описывающего динамику броуновских частиц, Больцмана-Пайерлса, описывющего процессы теплопе-реноса в кристалах), простейшая гиперболическая регуляризация трением системы уравнений Эйлера изентропической модели газовой динамики [21], расширение Дирака-Швиидлера системы уравнений Максвелла и т.д.
Изучению гиперболических регуляризаций систем законов сохранения (системы законов сохранения с релаксацией) посвящено много работ как российских, так vi зарубежных авторов. Прежде всего это касается исследования феномена релаксации [2], в частности вопросов устойчивости и сингулярного предела при стремлении времени релаксации к нулю в работах С. Bardas,
С. D. Levormore [31, [2], R. Е. Caffish, G. С. Papanicolaou [4], G. Q. Chen,
H. Frid [8), E. Yu. Panov (10] и т.д.. С исследованиями Чепмена (см.(«О], [G]), порожденными проблемой Максвелла о выводе уравнений гидродинамики из кинетического уравнения, связана задача о существовании "промежуточного аттрактора" для систем вида (1). При выводе уравнений гидродинамики из кинетической 'теории весьма существенно получить простую функциональную зависимость коэффициентов переноса от вида потенциала взаимодействия и, тем самым, упростить анализ получающихся уравнений. Чепмен и Энског в работе [7| выдвинули гипотезу, что для ’’физически корректных” моделей механики сплошных сред влияние моментов высшего порядка, т.о. большей части переменных V, ’’несущественно”. Они предположили существование операторное уравнения состояния
v — Qu,
(3)
5
выражающее неравновесные переменные через консервативные (проекция в фазовое пространство консервативных переменных), которое замыкает систему законов сохранения в(1)
dtW + drJ(w, Qu(w)) = 0. (4)
так, что специальные решения UchEns = {и = V = Qw) задачи Коши для сис/гемы (1), определяемые решениями w системы проекции (4), образуют инвариантное притягивающее многообразие MchEns (промежуточный аттрактор). Т.е. для любого решения Г/ = (u,v) задачи Коши (1) с начальными данными U\t-o = (г/°,г?°) существуют начальные данные Wq = Т{иц,Уо) для системы проекции (4), так что в некоторой норме невязка U — UchEns между U И специальным решением UchEns — (W) Qw) стремиться к нулю при /, —> оо. Более того, если в фазовом пространстве консервативных перемен-н ых
w —> 0, когда /. —» оо,
'ГО невязка Un стремится К нулю быстрее чем UchEns- Существенно то, что мы остаемся в классе гиперболических систем с релаксацией (возможно псев-додифференциальных). Целью диссертации является обоснование гипотезы Чепмена-Энскога для некоторого класса систем вида (1 ).
Много попыток обоснования гипотезы Чепмепа-Энскога связано с построением формальных асимптотических разложений для операторного уравнения (3) для систем (1) с жесткой релаксацией, когда матрица B(u)v во втором уравнении в (1) заменяется на jB(u)v, е 1 (см. например литературу в монографии Gorban A. N., Karlin I. V. [12]). Однако, при таком подходе возникла проблема устойчивости получаемых приближений. Первое приближение (порядка s1), названное Навье-Стокс приближением, подтвердило гипотезу -для систем моментов Трэда кинетического уравнения Больцмана, оно в точности совпало с системой Навьс-Стокоа сжимаемой жидкости, более того, необходимым и достаточным условием правильного знака вязкости явилось условие устойчивости линеаризованных на состояниях равновесия систем моментов. Однако, следующие приближения оказались неустойчивыми (см. Бобылев А. В. [23]), несмотря ira устойчивость исходной системы моментов, что привело к проблемам в обосновании асимптотических раложений. Впервые обоснование гипотезы Чепмена-Энскога было получено Giii-Qiaiig Chen, Lcvonnore С. I), and Tai-Ping Luui [2](1994) для одномерных систем размера
б
2x2 пи да (1) с жесткой релаксацией (как иллюстрация общего результата были рассмотрены р— система закоион сохранения с жесткой релаксацией и система уравнений паводковой воды). При выполнении условия устойчивости Лакса на характеристические скорости уравнения проекции и характеристические скорости исходной системы в этой работе было доказано, что невязка между рещением задачи Коши для исходной системы и соответствующим специальным решением в слабом смысле стремится к нулю при стремлении к нулю времени релаксации. Задача рассматривалась на конечном временном интервале [О.Т\. и предполагалось, что время релаксации стремится к нулю. В работе Л-Р. СоиІошЬеі и Т. воікіоп [9|(2004) глобальные гладкие решения многомерной изотермической системы уравнений Эйлера с жесткой релаксацией были построены также па конечном временном интервале [0,Т]. Показано, что при стремлении времени релаксации к нулю плотность сходится к решению уравнения теплопроводности. В терминологии проектора (3) здесь существует проекция в фазовое пространство консервативной переменной - плотности. В этом случае Навье Стокс приближение совпадает с уравнением теплопроводности, но построения проектора и инвариантного притягивающего многообразия специальных решений О с не из = (ш, 2г/;) в работе [9| не проведено, хотя при оценке невязки между плотностью и соответствующим решением уравнения теплопроводности неявно используется некоторая аппроксимация оператора (3). Позднее (2005-2007). в работах Е.В. Радкевича |8|, |22], [32| для некоторых конкретных моделей, например, систем моментов но выше третьего порядка и систем моментов не выше четвертого порядка газа фононов для глобальных гладких решений задачи Коши (па бесконечном временном полуинтервале |0,оо)) построен проектор (3). Проблема существования операторного уравнения (3) сведена к задаче о существовании гладкого решения параметрической системы алгебраических уравнений для символа псевдодифференциального по пространственным переменным оператора О.. Условия разрешимости этой системы алгебраических уравнений определяются соотношением времен релаксации. Оказалось, что коэффициенты символа матричного оператора Q являются функциями с внутренним слоем (типа кинка), плохо приближаемыми полиномами. Последнее объясняет природу неустойчивости іюст-Навье-Стокс приближений. Более того, показано, что неприводимые проекции (3) определяют на больших временах основмс динамики моделируемого неравновесною процесса.
В диссертации впервые для общей системы (1) проведен линейный анализ
7
задачи о существовании притягивающего многообразия специальных решений (промежуточного аттрактора). Впервые выделен класс слабо нелинейных систем (1) общего вида, для которых получены условия существовании притягивающего многообразия специальных гладких глобальных решений. По теме диссертации опубликовано шесть статей (три из них совместно с К.В. Радкевичем). Выносимые к защите результаты опубликованы в трех статьях автора [29]-[31).
Используемые обозначения. Опишем обозначения, которые будут использоваться в дальнейшем. Буквой £7 будем обозначать единичную матрицу. Под щ, ..., е,у будем понимать единичные векторы-столбцы линейного пространства С'\ т. с. е/. - /с-тый столбец матрицы Е. Линейную оболочку множества векторов VI, ..., Vт (не обязателт.но линейно независимых) будем обозначать 1Лп{щ, ...,ит}. Матрицу алгебраических дополнений к матрице /I будем обозначать со/(А). Определитель матрицы /1 будем обозначать деі(Л) либо |/1|. Во всех случаях, когда размеры матриц, участвующих в некотором выражении, не указаны ранее явно, будем предполагать, что они таковы, что операции матричного сложения и умножения в этом выражении определены корректно.
Основные результаты.
В первой главе сформулирована математическая формализации гипотезы Чепмена-Энскога о существовании проекции для линеаризованных задач. В первом параграфе показано, что существование проектора (операторного уравнения состояния (3)) эквивалентно разрешимости квадратного матричного уравнения
7^21 (А п + А і о Е> і) = Лої + АооФіїї
где А = Аі£+В. матрица А - квадратная размера N х Е, матрица Ац - квадратная размера т. х т, остальные блоки матрицы А имеют соответствующий размер.
Основным результатом второго параграфа первой главы является следующая теорема:
Теорема. Пусть |А| ф 0. Пусть, кроме того, найдутся векторы гц,г'ш такие, что:
1. V = 1лп{д,}™ - собственное подпространство матрицы А. т.е. А V = V.
8
2. Векторы и|,..,1;т,е„||.1,..,е:\г образуют базис. Тогда квадратное матричное уравнение
^21 (Ар "Ь Л 12^21) = ^21 “Ь Ло2-Я>1
разрешимо и наоборот.
Третий параграф первой главы посвящен обобщению этой теоремы на случай с1с1{\) = 0. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема:
Теорема. Пусть система секторов о\,...,ут задает базис линейного пространства V, инвариантного для матрицы А и такого, что Ып{г\, ...,Ут,ет+ 1,...,еп} - базис Еп. Запишем, эти векторы по столбцам
в виде матрицы ^ ^. Тогда соответствующее зтом.у набору векторов
(с учетом порядка) решение матричного уравнения, записывается в виде
я> 1 = а, с,-,1
Далее в этом параграфе изучается важное следствие приведенной выше теоремы - вопрос о числе решений матричного квадратного уравнения. Сформулированы и доказаны необходимое условие существования бесконечного количества решений, и достаточные условия, близкие к необходимым.
В четвертом параграфе первой главы исследуется вопрос о том, при каких условиях построенные в предыдущих параграфах решения квадратного матричного уравнения непрерывно зависят от параметра ф Основным результатом этого параграфа является следующая теорема:
Теорема. Пусть матрица Л непрерывно зависит от паршетра обратима при всех £ € Но и ее собственные значения являются однократными У£ Е*; где множество Е* конечно. Тогда для того, чтобы квадратное матричное уравнение, иютветстауюгцее матрице Л. имело решение, непрерывно зависящее от параметра £, необходимо и достаточно, чтобы существовало собственное подпространство V размерности т такое, что 1лп{\/,ет+ь...,еА'} = С* при всех £ 6 Ео-
В питом параграфе получено условие разрешимости матричного уравнения Ляпунова АХ — X13 = С более слабое, чем условие несовпадения множеств собственных значений матриц А и В. С помощью этого результата доказано необходимое и достаточное условие полного разделения динамик, т.е. приведения матрицы А к блочно-диагональному виду:
9
- Київ+380960830922