Содержание
Введение..................................................3
Глава'1. Симметричные периодические движения
обратимой системы.......................................18
§1.1. Необходимые и достаточные условия
существования. Метод построения решений............18
§ 1.2. Задача о продолжении по параметру...........23
§ 1.3. Колебания обратимой системы близкой к консервативной с одной степенью свободы.
Известные случаи...................................29
§ 1.4. Колебания обратимой системы близкой к консервативной с одной степенью свободы.
Неисследованный случай.......................;......32
Глава 2. Колебания и вращения динамически симметричною спутника на эллиптической орбите под действием
гравитационных сил и светового давления..................40
§ 2.1. Уравнения движения спутника..................40
§ 2.2 Динамически симмегричный спутник на крутовой. слабоэллиптической и произвольной
эллиптической орбите................................45
§ 2.2.1. Динамически симметричный спутник на
крутовой орбігге...............................45
§ 2.2.2 Динамически симметричный спутник на
слабоэллшггической орбите......................47
§2.2.3. Динамически симметричный спутник
на произвольной эллиптической орбите...........53
Глава 3. Периодические движения спутника под
действием гравитационных сил и светового давления........75
§ 3.1. Спутник на крутовой орбите при отсутствии
солнечного давления.................................75
§ 3.2. Спутник на эллиптической орбите при отсутствии
солнечного давления.................................77
§ 3.3. Спутник на эллиптической орбігге под действием
гравитационных сил и солнечного давления............78
§ 3.4.2л-периодические колебания и вращения.........80
§ 3.5. 4/т -периодические колебания и вращения......93
§ 3.6. 6 л-периодические колебания и вращения.......98
Приложение I........................................ 105
Приложение 2............................................114
Заключение..............................................133
Литература..............................................134
Введение.
Исследование движения искусственного спутника Земли (ИСЗ) является одной из самых интересных в прикладном смысле задач небесной механики на сегодняшний день Факторы, оказывающие влияние на движение ИСЗ, принято подразделять на две группы: гравитационные и негравитационные.
Основные гравитационные факторы обусловлены нецентраль-ностыо земного гравитационного потенциала, притяжением Луны и Солнца, действием лунно-солнечных приливов, притяжением атмосферы Земли.
11аиболее значительными негравгггационными факторами являются [19.66] тормозящие эффекты атмосферы, магнитное поле Земли, влияние давления прямого солнечного излучения [20,58], влияние отраженной Землей радиации, а также дополнительные эффекты от светового давления - эффект Ярковского от Солнца, эффект Ярковского от Земли, эффект Пойнтинга-Робсртсоиа от Солнца и Земли [16].
Движение ИСЗ под действием гравитационных факторов хорошо изучено различными методами: аналитическими, качественными и численными. Наибольшие возмущения в движении спутника (особенно малоапогейных) связаны [24] со второй зональной гармоникой потенциала притяжения Земли. Остальные гравитационные и негравитационные факторы оказывают на движение ИСЗ влияние в сотни и тысячи раз меньшее. Среди негравитационных эффектов преобладающее действие на спутники на высоте до 500 км оказывает аэродинамический момент [66]. Момент сил светового давления является одним из основных возмущающих факторов, начиная с высоты 1020 км [19], поэтому для высокоорбитальных спутников световое давление является главным возмущающим фактором негравитационного характера.
Возмущения, создаваемые световым давлением, особенно значительны для ИСЗ с большой парусностью, т.е. с большим отношением площади поперечного сечения к массе. К таким ИСЗ относятся, прежде всею, спутники-баллоны, а также спутники, несущие обширные солнечгпле батареи. Необходимость изучения влияния светового давления на движение ИСЗ обусловлена желанием расширить область применения космической техники и стремлением повысить точность теорий двггження средне- и высокоорбитальных спутников.
Исследование влияния светового давления на движение ИСЗ началось вскоре после первых запусков искусственных спутников: необходимо было объяснить ряд неожиданных эффектов в эволюции орбггг, не согласующихся с теориями движения, учитывающими лишь
3
гравитационные и атмосферные возмущения. В общем потоке работ, посвященных данному вопросу, можно выделить несколько основных направлений.
Во-первых, исследования общих задач эволюции орбит под действием светового давления без учета движения спутника относительно ueirrpa масс Внешняя оболочка спутника при этом считается сферой. Во-вторых, учет влияния светового давления па движение спутников сложно геометрической формы. Здесь необходимо учитывать движение спутника относительно центра масс. В-третьих, разработка различных методов учета тени Земли и исследование вызываемых ей возмущений. В-четвертых, исследование отраженной от Земли радиации.
В данной диссертации исследуются плоские симметричные периодические движения спутника вокруг его центра масс под действием гравитационного момента и момента солнечной радиации.. При этом центр масс спутника движется по эллиптической кеплеровой орбите.
Уравнение относительного движения спутника относительно его центра масс, который движется в центральном гравитационном поле по эллиптической op6irre. было получено В.В. Белецким в 1956 г. и опубликовано в 1959 г. [25J. Предполагается, что главная ось инерции спутника, момент инерции относительно которой равен В, все время перпендикулярна плоскости орбиты Моменты инерции относительно двух других главных осей обозначим А и С. Тогда уравнение Белецкого имеет вид
(1 + есови)а’ — 2еа sin ^4- ^ sin а cos а = 4с sin . (А)
Здесь а- утол между радиус-вектором центра масс и осью инерции, относительно которой момент инерции равен С; // = 3(А-С)!В - инерционный параметр; е - эксцентриситет орбиты; v - истинная аномалия. Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами и имеет два параметра е и и, область допустимых значений которых лежит в области
/Г - {0 < е < 1,- 3 < // < 3}
Укажем, что уравнение (А) инвариантно относительно каждой из замен [24]
4
\',а,е,и->у + л,а,-е,р у,а,е,р^>у,а + л,е,-р у,а,е,р-+-у,-а,е,р
Это обстоятельство значительно упрощает его анализ.
При е = 0 уравнение Белецкого является уравнением математического маятника и шгтсгрирустся в эллиптических функциях [45,66, 67,69,70]. При р-0 оно также интегрируется в явном виде [24,24,29]. Используя методы регулярных возмущений, можно исследовать решения уравнения Белецкого при мачых е и при малых р. В остальных случаях решения уравнения находились и исследовались численно.
Среди всех возможных движений наиболее интересными являются периодические.
Пусть задана 2л -периодичная по / и у система
х' = Х(х,у,0,У =У(х,у,0 (х-/-вектор. у-л-всктор).
Тогда движение этой системы х = р(0»У = $К0 называется [80] 2лк-периодическим, если
^>(/ + 27"*) = (р(1\ц/{1 + 27'*) = ц/{() + 2лт,т е Ъп, Т* = лк
Это решение описывает как колебательное (/« = 0), так и вращательное (т* 0) движения. Такие решения еще называют [32] обобщенно периодическими решениями (ОПР)
В работе [70] наиболее полно описаны периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты относительно центра масс. Для слабоэллшгтнческих орбит указан класс симметричных периодических решений, удовлетворяющим простым краевым условиям. С помощью численных методов эти решения продолжены в область больших значений эксцентриситета. Исследуются 2л, 4л, 6л -симметричные периодические решения Для 2л -периодических решений результаты представлены в виде зависимости начальной скорости от эксцентриситета при некоторых значениях инерционного параметра р. Исследовано ветвление найденных решений.
В работе [69] рассмотрены вращательные периодические решения уравнения Белецкого. Для случаев слабоэллиптической орбиты и почти симметричного спутника указан класс симметричных периодических решений. Эти решения продолжены численно в область больших значений эксцентриситета орбиты и инерционного параметра спутника. Исследованные решения описывают относительные враще-
5
ния спутника, когда за один оборот центра масс спутник совершает одно прямое или обратное вращение. Представлены обласги устойчивости найденных вращений.
В работе [33] были исследованы симметричные ОПР, где было применено изображение семейств таких решений их характеристиками в сечениях фазового пространства.
Следует заметить, что существуют и несимметричные порождающие ОПР. В [35] на семействах симметричных периодических решений были вычислены подсемейства от которых ответвляются несимметричные семейства ПР. Также, в работе [68] для е<0.98 было вычислено семейство несимметричных периодических решений, ответвляющихся от симметричного семейства решений. В [18,36] оно вычислено для е > 0.98, а настоящему времени - до е = 0.999.
Для многих космических прикладных задач в областях коммуникации. прогнозирования погоды, военной обороны, научно-исследовательской деятельности, геодезии и других, применяются искусственные спутники Земли. Очень важным является поддерживать фиксированную ориентацию ИСЗ относительно Земли. Однако из-за возмущений окружающей среды с течением времени спутник может существенно отклоняться от такой предпочтительной орбшы. Для высокоорбитальных спутников давление прямой солнечной радиации является одним из основных возмушающих факторов [4].
Первыми публикациями, посвященными исследованию влияния на ИСЗ возмущающих эффектов солнечной радиации без учета влияния тени Земли, по-видимому, были работы Musen [13] и Shapiro и др. [14]. В этих работах было проведено сравнение результатов наблюдений ИСЗ Vanguard 1 с результатами численного интегрирования уравнений его движения. На основе этого были получены первые оценки величины светового давления. Последовавшие вскоре запуски легких спушиков-батлоиов Echol, Echo2, Dash2 и Pageos позволили существенно улучшить эти оценки. Особенную роль здесь сыграт запуск спутника-сферы Echol (диаметр внешней оболочки 30 м, масса 60 кг). Полученный в результате наблюдений этого спутника обширный материал использоватся затем при разработке и проверке аналитических теорий движения ИСЗ, учитывающих световое давление.
Широкое распространение в задачах »пучения влияния светового давления на движение ИСЗ получил метод Y. Kosai [8,9]. Метод основан на разложении орта направления “Земля-Солнце" по осям ор-битатьной системы координат, связанной с центром масс спутника. Выражая проекции этого орта через элементы орб»ггы спутника и долготу Солнца Kosai удатось анаппичееки проинтегрировать уравпе-
6
ния возмущенного движения на одном орбитальном витке в предположении о неизменности элементов орбиты и положения Солнца. Тень от Земли учитывалась численно. Этот метод применялся впоследствии во многих исследованиях. Особо, следует отметить работы Е.П. Поляковой [15,59, 62].
Предметом большего числа публикаций была проблема резонанса, определяемого соизмеримостью средней угловой скорости движения Солнца по эклиптике с угловыми скоростями вековых движений перигея и восходящего узла орбиты под влиянием гравитационных эффектов несферичности Земли. Теоретические исследования указанного эффекта принадлежат Р. Musen [13], I. 1. Shapiro [17], D. Brouwer [1,2], E. H. Поляковой [61-63], M. Hough [6,7].
Существенное место в аналитических теориях движения с учетом радиационных возмущений занимает теория движения в нецентральном поле с использованием в качестве промежуточной орбиты траектории, представляющей собой строгое решение обобщенной задачи двух неподвижных центров. Подробная аналитическая теория ИСЗ-баллонов основывалась на базе предельной задачи двух неподвижных центров. Она была создана в работах A.J1. Куницына, Ю.Н. Исаева, А.И. Прокофьева [47-51].
Работы [2,6,7,8,9,13-15,17, 59,61,62] были посвящены исследованиям движениям сферических спутников-баллонов. Для спутников такого типа существенными характеристиками являются парусность и отражательная способность, тогда как ориентация спутника относительно Солнца не играет никакой роли. Однако реальные ИСЗ зачастую представляют собой объекты весьма сложной формы, и расчет действующих на них сил светового давления оказывается довольно сложной задачей. Отдельно исследовались спутники в форме диска, цилиндра, гантели и более сложных конфигураций. В тесной связи с этими работами находятся исследования, посвященные движению космических аппаратов относительно центра масс в световом потоке и их трехосной стабилизации при помощи светового давления. Разработка способов управления ориентацией при помощи момента сил светового давления неизбежно сталкивается с проблемой оптимизации конструкций приспособлений наилучшим образом использующих световой поток для этой цели: отражающих поверхносгей, солнечных стабилизаторов, комбинации черно-белых покрытий и др., позволяющих осуществив пассивную стабилизацию спутника Обширный обзор работ в этой области приведен В. А. Сарычевым [66]. Отмегим работы Е.Н. Поляковой [58.60.64], В.В. Белецкого [27,28], А.Ю. Когана [54] и В.В. Сидоренко [71,72].
7
Ряд научных статей освещает вопросы стабилизации гелиосин-хронных орбит ИСЗ силой светового давления и изменение высоты орбиты ИСЗ силой светового давления, например, [81-83].
В работе Flanagan и Modi [3] рассматриваются колебания спутника в плоскости эллиптической под действием гравитационного момента и момента сил солнечного излучения. 11редполагается. что орбита лежит в плоскости эклиптики. Такое уравнение имеет вид [3]
(1 +ecosv)a —2е{а + 1) sin v 4- /i sin a cos о
c(l + cf . / . \ I • / i \ I ^
= —38,n(/y + Ot — <p) | 8in(i/ + a — <p) |
(1 + ccost/)
Здесь с - параметр солнечного давления, зависящий от орбиты спутника, отражающих и переотражаюших свойств его поверхности, а также параметра распределения массы спутника. Угол <р - утол между направлением на Солнце и в перигей орбиты (вершина угла лежит в центре Земли).
Это нелинейное, неавтономное дифференциальное уравнение, содержащее три параметра е,^,с, усложняется наличием в правой части модуля. В работе [3] исследовалось линеаризованное уравнение с использованием аналитического WKBJ метода и численного интегрирования. Из проведенного анализа следует удовлетворительная точность приближенного анатнтического решения, отмечена возможность значительного влияния солнечного излучения на ориентацию спутника, если не накладывать некоторых ограничений на конструкцию спутника.
В [10] аналогичная задача (эллиптическая орбита лежит в плоскости эклиптики) решена применительно к спугннку-циллиндру, также совершающему колебания в плоскости эллиптической орбиты под действием гравитационного момента и момента сил солнечного излучения. Анализ свойств решений (зависимость амплитуды колебаний от инерционного параметра /л и параметров, определяющих момент сит солнечного излучения, вопросы устойчивости) уравнения колебаний спутника был проведен с использованием численного интегрирования. Методом преобразования за период в пространстве а,а, v определена область начальных данных, соответствующих колебательным движениям спутника
Исследование динамики осесимметричного (спутник-шиишндр), медленно вращающегося вокруг оси симметрии спутника, было проведено [11.12]. Предполагается, что центр давления лежит на оси симметрии спутника и не совпадает с его центром масс. Проекция
8
суммарного момента на ось симметрии равна нулю, что приводит к цикличности одной из угловых координат-. Следовательно, уравнения движения представляют собой систему двух нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка. В [12] свойства решений этой системы исследуются численно. В [ 11 ] методом осреднения получено приближенное общее решение уравнений движения. Предполагаюсь, что амплитуды колебаний спутника маты.
В работе [28] рассматривается плоское движение относительно центра масс симметричного зонтообразного спутника на круговой орбите под действием гравитационного и солнечного светового моментов. С помощью асимптотического метода изучаются малые колебания спутника в окрестности главного резонанса. Подудела приближенная амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний. Проведено численное построение зон параметрической неустойчивости периодических колебаний спутника.
Большое количество задач небесной механики описывается системами, обладающими свойством обратимости [78]. Для таких систем В Н. Тхаем был предложен метод построения множества всех симметричных периодических движений [74,75.79,80]. Построение этого множества можно проводить численно, этот процесс заключается в построении пересечения неподвижного множества обратимой системы и образа этого множества через полупериод. Данный подход свободен от недостатка, присущего численному определению неподвижных точек соответствующего отображения, задаваемого дифференциальными уравнениями. Если в последнем методе неподвижная точка определена с некоторой (быть может) большой точностью, то нет га-рактии, что эта точка отвечает не тору, а периодическому движению. С помощью данного метода дано принципиальное решение проблемы построения и классификации всех симметричных периодических движений дтя Задачи Хидта, 01раниченной задачи трех тел (в том числе фотогравитационной), тяжелого твердого тела неподвижной точкой, тяжелого твердого тела на шероховатой плоскости.
Теория периодических движений обрзгимых систем последовательно развивалась в последующих работах. В [77] решается вопрос о продолжегаш по параметру симметричных периодических решений автономной или периодической обратимой системы. Рассматриваются негрубые случаи, когда порождающая система не гарантирует продолжимость решения.
В [76] решается задача о периодических движениях системы с малым параметром. Исследуются негрубые случаи, когда задача не решается порождающей системой, полученной при нулевом значении
9
малого параметра. Систематически разрабатывается идея Ляпунова об использовании новой порождающей системы, уже содержащей малый параметр. Исследуются системы общего вида, обратимые системы, близкие к обратимым.
В [80] рассматриваются автономные или периодические по независимой переменной / системы, заданные на R'xT" (Тп - тор размерности п). Исследуются 2дк -периодические вращательные движения (содержащие колебательные движения), замкнутые на R'xT" (через время AI = 2лк,к eN, для 2 л -периодической по / системы). Показано, что для таких движений справедлива теория, аналогичная теории для колебательных движений. Для обратимой системы даны необходимые и достаточные условия существования периодического вращательного движения, предложен метод построения всех таких движений. Здесь, также, рассмотрена возмущенная задача Белецкого, сделан важный вывод о продолжении по малому параметру почти всех 2лк -периодических колебаний и вращений и об устойчивости зтих движений.
Систематическое исследование задач, основанных на свойстве обратимости, проводилось в последние годы под руководством В.Н. Тхая в работах: Д.Л. Гродмана [41], Д.Л. Гродмана и В.Н. Тхая [42,43] - исследование периодических движений спутника под действием навигационных сил и солнечного давления: 10.Д. Глухих - [38], Ю.Д. Глухих и Т В. Грихановой [39], Ю.Д. Глухих и В.Н. Тхая [40] - исследование периодических движений спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов; И.И. Косенко И.И. предельная задача о колебаниях спутника на эллиптической орбите с учетом солнечного давления [55,56]. В [80] В.Н. Тхаем рассмотрена возмущенная задача Белецкого, сделан важный вывод о продолжении по малому параметру почти всех 2лк -периодических колебаний и вращений и об устойчивости этих движений. Задачи обладают свойством симметрии (обратимости) и во всех работах явно используется это свойство. Оказалось, что методы исследования обратимых систем являются наиболее эффективными для этих задач.
Надо отметить, что задачу (В) можно исследовать без учета свойства обратимости, используя хорошо разработанную в работах А. Пуанкаре [65], A.A. Андронова [21], A.A. Витта, С.Э. Хайкина [22, 23], Б.В. Булгакова [34], И.Г. Малкина [57], Г.В. Каменкова [52], H.H. Боголюбова и Ю А. Митропольского [31], В.Г. Веретенникова [37] и др. теорию нелинейных колебаний. Конечно, при этом получатся те же результаты, что и при применении методов исследования обратимых систем. Однако исследование становится более трудоемким, а ре-
10
зультаты - недостаточно полными. Например, для определения характеристических показателей необходимо строить 2 решения задачи Коши, вместо одного, как при применении теории обратимых систем. Более того, ряд случаев, грубых с точки зрения теории обратимых систем, являются негрубыми в общей теории. Это значительно усложняет задачу.
Приведенный выше обзор работ, посвященных данной области исследования, не претендует на полноту и отражает лишь небольшую часть полученных результатов, непосредственно относящихся к теме диссертации.
В данной диссертации исследуются симметричные колебательные и вращательные периодические движения спутника, описывающиеся уравнением (В) в тех случаях, когда оно является обратимым, что позволяет единым методом [80] исследовать симметричные колебательные и вращательные движения. При этом имеющиеся теоретические результаты [76J позволяют также получить выводы для случаев, близких к рассматриваемым.
В первой главе диссертации приводятся теоретические результаты, на основе которых исследуется поставленная задача. В § 1.1. ,оля обратимой системы 2-го порядка конкретизируются результаты, полученные в [80]. Здесь приводятся необходимые и достаточные условия существования симметричного периодического решения автономной и 2/Т к -периодической системы и дается описание метода В. II. Тхая построешщ движений как колебательных, так и вращательных. Последние не являются периодическими в общепринятом смысле, но если перейти от фазовой плоскости к фазовому цилиндру, они так же, как и колебательные, представляются замкнутой интегральной кривой. Описанный метод дает корректное решение задачи численного построешщ всех симметричных периодических движений обратимой системы. Симметричным периодическим движениям принадлежат точки пересечения неподвижного множества М и его образа Мт через полупериод (г = /гк ятя 1кк -периодического решения). Процесс построения решений проводится численно. Здесь возникают две задачи:
а) построение множества М’ - эта задача решается стандартным способом с использованием численного интегрирования;
б) нахождение точек, принадлежащих пересечению М и 1УГ - в общем случае представляет сложную задачу, так как множество Мг строится численно с некоторой точностью. Однако в случае системы второго порядка проблема решается корректно с использованием тео-
11
- Київ+380960830922