ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................3
Глава 1. Сопряженные интерполяционные задачи в пространствах целых функций.......................21
§1 Основные положения.............................21
§2 Доказательства теорем..........................30
Глава 2. Представление целых функций экспоненциального типа рядами Тейлора с переменным
центром.............................................54
§1 Случай произвольного распределения узлов интерполяции в единичном круге и на отрезке................54
§2 Случай Ап = п ................................. 57
Глава 3. ИнтерполяциЙдйая задача Абеля — Гончарова с медленно растущими узлами..................64
§1 Разложимость целой функции в ряд Абеля - Гончарова в терминах регуляризованного радиального индикатора ..............................................65
§2 Разложимость целой функции в ряд Абеля - Гончарова в терминах расположения особых точек Ф -ассоциированной
функции.............................................76
Литература .........................................86
2
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена некоторым интерполяционным задачам в пространствах целых функций.
Введем некоторые определения, которые будут использоваться на протяжении всей работы.
Пусть Б — открытая односвязная область в комплексной плоскости С, не содержащая бесконечно удаленной точки, с односвязным дополнением С Б до всей расширенной плоскости С; О — замыкание области В. Обозначим через А(Б) пространство функций, регулярных в I), с топо-
логией равномерной сходимости на произвольных компактах из D. Если D — конечная область, то пространство функций, регулярных на D, обозначим через A(D). Топология задается равномерной сходимостью в какой-либо замкнутой области, содержащей D строго внутри.
Через Aq(CD) обозначим пространство функций, регулярных на CD и обращающихся в нуль на бесконечности. Топология Aq(CD) задается равномерной сходимостью в какой-либо замкнутой области, содержащей CD строго внутри.
Если область D — конечна, то через A0(CD) обозначим пространство функций, регулярных в CD и равных нулю на бесконечности, с топологией, определяемой сходимостью на замкнутых областях из CD.
Всюду в дальнейшем, не оговаривая этого специально, через тп = {гтгп}^° будем обозначать последовательность комплексных чисел, обладающих свойствами:
7По = 1, 0 < \тп\ < оо (п = 1,2,...), lim \mn^'n = оо.
n—too
(М)
С последовательностью m будем связывать целую функ-
4
цию
(0.1)
Обозначим через Л(Ф, О) (или А(Ф, £>)) пространство целых функций
Топология пространств А(Ф,Б) и А(Фуй) индуцируется топологией соответственно сопряженных с ним пространств
Связь между функцией д(Ф, Р; г) (которая называется Ф - ассоциированной с Р(г)) и Р(г) носит название обобщенного преобразования Бореля. Классическое преобразование Бореля соответствует функции Ф(г) = ехр(^) (см., например, [5], [25]). Кроме того, если гпп > 0 (п = 0,1,2,...) и тп/тп+1 \ 0 (п —» 0), то Ф(ж) является функцией сравнения (см. [12]). Свойства пространств А(Ф, £>), А(Ф,В)
таких что функции
ос
(0.2)
п=О
принадлежат пространству Ао(СВ) (соответственно, Ао(СВ)).
А(В) и А(В).
5
хорошо известны (см., например, [7], [10]). В частности, имеет место интегральное представление
Р(2) = ±/ФМ9(Ф,Р;^, (0.3)
Г
где Г — замкнутый жордановый контур, соднржащий внутри себя все особые точки функции р(Ф, Р; £).
Нам потребуется общий вид линейного непрерывного функционала І, действующего в прстранствах А(Ф,£>),
А( Ф,Я).
Из [5], [10] известно, что
Ь{Р) = гЬ/ (0.4)
г
где /(г) Є А(В), Г С В (соответственно, /(г) Є А(В), Г С В), Г содержит все особенности д(Ф,Р]г).
Пусть нам (на любом из пространств А (Ф, В) или А(Ф, В)) задана система линейных непрерывных функционалов удовлетворяющая условиям
Ьк{гт) =0, к > т, к,гп = 0,1,2,... (0.5)
и
£*(**) = !, Л = 0,1,2,... (0.6)
6
Систему функционалов такого рода будем называть интерполяционной системой функционалов соответствующего пространства.
Заметим, что условиями (0.7) каждый полином Рп(г) степени точно п определяется единственным образом и в силу (0.5), (0.6) коэффициент при 2П равен единице.
Также и функционалы Ьк определяются через полиномы Рп(г) с помощью (0.7) единственным образом. Но не каждая система {Т>п(^)}^с определяет функционалы {Ьк}^ как линейные и непрерывные. Только в случае линейности и непрерывности {Ьк}^ будем называть полиномы {Рп(2)}^° — интерполяционной системой полиномов в соответствующем пространстве.
Интерполяционная задача состоит в восстановлении функции -Р(г), принадлежащей Л(Ф,Г>) или А(Ф,#), по заданной последовательности {Ьк{Р)}^, где {£/с}^° — интерпо-
Интерполяционной системе функционалов {Ьк}^' поставим в соответствие систему полиномов {Рп(г)}^ с помощью условий биортогональности:
(0-7)
- Киев+380960830922