- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ Стр^
ВВЕДЕНИЕ..................................................... 4
Глава I. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖНИЕ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДСГО ТЕЛА ПРИ МАЛО! НАКЛШЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА к экваториален® плоскости ЭЛЛИПСОИДА ИНЕРЦИИ II
1.1. Уравнения движения динамически симметричного
тела................................................... II
1.2. Усреднение уравнений движения. Качественный
анализ усредненных уравнений........................... 17
1.3. Периодические решения Пуанкаре первого рода 24
1.4. Обращение квадратур.................................... 29
1.5. Либрационное движение динамически вытянутого "тела ..................................................... 33
1.6. Либрационное движение динамически сплюснутого
тела................................................... 38
1.7. Вращательное движение тела..............................40
1.8. Интерпретация движения. Расчеты на ЭВМ...........43
Глава 2. ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО
ТЯЯЕЛСГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ОСТРОЙ СОИЗМЕРИМОСТИ ЧАСТОТ................................................ 51
2.1. Усреднение уравнений движения по схеме Делоне-Хилла..................................................... 51
2.2. Качественный анализ усредненных уравнений.........54
2.3. Обращение квадратур усредненных уравнений 58
2.4. Вращательное движение тела при острой соизмеримости частот................................................ 62
2.5. Либрационное движение тела при острой соизмеримости частот ............................................... 67
2.6. Движение при острой соизмеримости частот и периодические решения Пуанкаре ............................. 70
2.7. Интерпретация движения. Результаты расчетов на
ЭВМ.................................................... 74
Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМУЩЕННОГО сЙЛЕРСВА ДВИЖЕНИЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ СОИЗМЕРИМЫХ ЧАСТОТАХ.......................81
3.1. Уравнения движения тела с трехосным эллипсоидом инерции......................................................81
3.2. Усреднение уравнений движения тела при соизмеримости частот нечетного порядка. Анализ усредненных уравнений................................................85
3.3. Решение уравнений движения тела, усредненных с учетом нечетной соизмеримости частот ....................... 92
3.4. Вращательное движение динамически несимметричного тела................................................... 95
3.5. Либрационное движение динамически несимметричного тела................................................... 98
3.6. Исследование движения тела при соизмеримости частот четного порядка .................................... 100
3.7. Погрешность метода усреднения по Делоне-Хиллу .. 104
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................ 114
ЛИТЕРАТУРА................................................. 116
ВВЕДЕНИЕ
Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки представляет большой теоретический и практический интерес и ей посвящены многочисленные исследования.
Известно, что без ограничения на начальные данные задача проинтегрирована лишь в трех случаях: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. При дополнительных ограничениях на начальные данные в задаче найдено еще около пятнадцати частных случаев интегрируемости [22].
В.В.Козловым было доказано [29 - 31], что уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в возмущенном случае Эйлера не имеют дополнительного аналитического интеграла к трем известным (энергии, площадей и тривиального геометрического), необходимого для сведения задачи к квадратурам. Этот результат имеет важное значение. Ранее была доказана теорема Гюссона [9] об отсутствии дополнительного алгебраического интеграла в данной задаче. Но свойство интеграла быть алгебраическим в сильной мере зависит от выбора переменных для исследования.
Если ввести в рассмотрение пространство параметров (отношение главных моментов инерции, координаты центра масс, координаты, определяющие начальное положение тела, начальные угловые скорости), то в этом пространстве параметры, соответствующие проинтегрированным случаям, составляют множество нулевой меры. В реальных объектах эти параметры могут быть реализованы лишь приближенно. В связи с вышеизложенным представляет большой интерес выявление особенностей движения тела с помощью методов теории возмущений при параметрах, близ-
- 5 -
ких к их значение в случае интегрируемости* Для гамильтоновых систем исследование задач, близких к интегрируемым, Пуанкаре называл даже "основной задачей динамики” [40].
Исследования в данной задаче чрезвычайно обширны. 141 кратко остановимся на результатах, полученных в данной задаче с помощью методов теории возмущений.
Значительное количество работ посвящено отысканию периодических решений Пуанкаре первого рода. Так, например, в работах [II, 16, 17, 32] доказывается существование периодических решений уравнений движения динамически симметричного, или же достаточно близкого к динамически симметричному, тела в однородном поле тяжести при условии, что центр масс расположен достаточно близко к точке закрепления. В работах[18, 21, 25, 26] для той же задачи поле тяготения выбрано линейным, являющимся первым приближением к центральному ньютоновскому. Использование переменных действие-угол, введенных в динамику твердого тела Ю.А.Садовым [42, 43] на основе интегрируемого случая Эйлера, позволило В.В.Козлову доказать существование периодических движений тяжелого твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции при малом отклонении центра масс от точки закрепления [32]. И.М.Аксененковой [I] переменные действие-угол были определены на основе интегрируемого случая Лагранжа, что позволило доказать существование периодических движений тела мало отличающегося от волчка Лагранжа [44]. Периодические решения являются наиболее простыми после положений равновесия. Они характеризуются одной базисной частотой и строятся в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра с периодически зависящими от времени коэффициентами. Значение периодических решений Пуанкаре первого рода заключается не только в том, что они открывают возможность изучить один
- 6 -
из классов решений, но также и в том, что они позволяют локально изучить некоторые свойства разбиения фазового пространства, чему в предшествующих работах не уделялось достаточного внимания.
Другим важным результатом, полученным с помощью малого параметра в данной задаче, является доказательство В.В.Козловым отсутствия нового аналитического интеграла [29 - 31].
При этом были проанализированы причины, препятствующие его появлению, такие как рождение изолированных периодических решений Пуанкаре, расщепление сепаратрис, ветвление решений возмущенных уравнений движения [28, 29, 33].
Не менее важным пунктом в изучении свойств решений задачи является доказательство В.Й.Арнольдом теоремы А.Н.Кол-могорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона [4, 5, 35]. Условно-периодические функции являются частным случаем почти-периодических и характеризуются конечным набором базисных частот. В задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки, если зафиксировать постоянную площадей, имеются две базисные частоты. В фазовом пространстве невозмущенной задачи движение происходит по инвариантным, в общем случае двумерным, торам.
При малом, порядка ^ , возмущении большинство инвариантных торов сохраняется, лишь немного деформируясь. Мера разрушившихся и деформация сохранившихся торов ограничивается сверху величиной порядка \//Т [38].
В диссертации изучается возмущенное движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, когда частоты невозмущенного эйлерова движения связаны соотношением
г?1 сд,-*-плсог =0, пс е I, а = г7 г), 1п<Ь1г>1 / *0.
- 7 -
Уравнения движения тела приводятся к стандартной по Боголюбову форме [15] и проводится их усреднение с учетом соизмеримости частот (усреднение по схеме Делоне-Хилла). Получаемые в результате усреднения уравнения интегрируются в квадратурах. Решение усредненных уравнений позволяет выделить основные, эволюционные эффекты в движении тела. При этом важным является вопрос о погрешности метода усреднения. Если обозначить через х(Хо,£) , Х=(Х1ч решение исходных уравне-
ний, а через X (Хо7 {) - решение усредненных уравнений с такими же начальными условиями, то необходимо иметь оценку нормы IIХ^)-Х(^)// . Согласно теореме Е.А.Гребеникова [23] при усреднении по Делоне-Хиллу дифференциальных уравнений с правыми частями в виде рядов Фурье для медленных переменных ЦхШ -ТИ)Ц<0(]и) на отрезке времени [О, , где у*
малый параметр. Если же правые части уравнений - тригонометрические многочлены, то аналогичная оценка справедлива на отрезке [О, р.' /.
С помощью теории периодических решений Пуанкаре и теоремы Колмогорова-Арнольда [4, 5, 35] некоторые результаты о качественных свойствах движения тела, полученные из анализа усредненных уравнений, обоснованы на всем бесконечном интервале времени. Сущность этого заключается в следующем. Так как усредненные уравнения интегрируемы в квадратурах, то согласно теореме Лиувилля-Арнольда об интегрируемых системах [в] движение в фазовом пространстве происходит по инвариантным торам. Эти инвариантные торы уже учитывают основные особенности решений возмущенных уравнений в случае соизмеримости частот. Если теперь в уравнениях движения принять во внимание те слагаемые, которые были отброшены при усреднении, то из теоремы Пуанкаре об асимтотических поверхностях [41] и теоремы Кол-
- 8 -
могорова-Арнольда [4, 5, 35] следует, что большинство инвариантных торов лишь немного деформируется. Сохранившиеся двумерные инвариантные торы делят трехмерный уровень интеграла энергии на ограниченные области, из которых не может выйти фазовая траектория. В фазовом пространстве невозмущенной задачи Эйлера-Пуансо движение также происходит по инвариантным торам. Но последние "плохо" учитывают резонансные эффекты. С подобным явлением ранее столкнулись при изучении резонансных задач в небесной механике и поэтому в качестве нулевого приближения стремятся принимать не кеплеровские орбиты, а орбиты, вычисленные из решений усредненных уравнений [23].
В первой главе диссертации изучается возмущенное движение динамически симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести в случае, когда кинетический момент находится достаточно близко к экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Исследование проводится в канонических переменных Андуайе £ у д 9 Р и оскулирующих
переменных О у р , £у у у Р . Изучены два типа движений. Для либрационного движения угол собственного вращения колеблется в ограниченных пределах с амплитудой менее 2Л. Период колебаний имеет большое, порядка уГ* , значение. Для вращательного движения поворот тела относительно оси динамической симметрии происходит монотонно. Проведены численные расчеты на ЭВМ.
Во второй главе диссертации изучаются возмущенные движения динамически симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести в случае, когда частоты невозмущенного эйлерова движения характеризуются соизмеримостью типа 1:1. Резонансные эффекты приводят к тому, что на регулярные прецессии накладываются долгопериодические ко-
- 9 -
лебания амплитуды порядка . Это гложет приводить, в частности, к временному изменению направления прецессии кинетического момента (годограф кинетического момента имеет самопересечения). Ранее подобные движения кинетического момента были обнаружены В.В.Белецким в задаче о движении спутника [13]. Полученное решение усредненных уравнений позволяет, с соответствующей точностью, провести интерпретацию движения тела, основанную на теоремах Пуансо. Для некоторых начальных значений проведены численные расчеты на ЭВМ.
В третьей главе изучается возмущенное движение твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции. Исследование проводится в переменных действие-угол, введенных Ю.А.Садовым [42, 43] В отличие от динамически симметричного тела здесь имеется бесконечное количество различных типов соизмеримостей частот. Усреднение уравнений движения тела по схеме Делоне-Хилла позволило в окрестности фиксированной соизмеримости частот получить интегрируемую в квадратурах систему уравнений. По решению усредненных уравнений изучены либрационный тип движений тела, когда аномалия Делоне колеблется в ограниченных пределах, вращательный тип движения, когда аномалия Делоне изменяется монотонно, и асимптотические движения. Для либрацион-ного и вращательного движений переменные действия ■*/, -£> испытывают, в общем случае, долгопериодические изменения с амплитудой порядка . Период изменения стремится к бесконечности, если, изменяя произвольные постоянные интегрирования, устремить решение к асимтотическому. Качественные свойства движения тела, выявленные из решений усредненных уравнений, уточнены с помощью теории периодических решений Пуанкаре первого рода и теоремы Колмогорова-Арнольда. Исходя из реше-
10
ний усредненных уравнений проведена интерпретация движения тела, основанная на теоремах Црансо. Оценка Е.А.Гребеникова погрешности метода усреднения по Делоне-Хиллу распространена на интервал времени порядка ух *.
По теме диссертации были сделаны доклады на кафедре "Теоретическая механика" МВТУ им. Н.Э.Баумана (зав. кафедрой член-корр. АН СССР Колесников К.С.), на семинаре по классической динамике в МГУ им. М.В.Ломоносова (руководители проф. Демин В.Г., доц. Колесников H.H., ст.н.с. Татаринов Я.В.), на заседании кафедры "Теоретическая механика" УДЯ им. П.Лумумбы (зав. кафедрой проф. Галиуллин A.C.).
Основные результаты изложены в работах [l8, 19, 24, 47*].
- Киев+380960830922