Оглавление
Глава 1 Введение \
1.1 Элементарные динамические системы: отношение к физической картине мира 1
1.2 Специфика низкоразмерных систем: д|юбпый спин............................... 10
1.3 Геометрические модели и волновые уравнения релятивистских анионов ... 20
1.-1 Реализация супергеометрии Лобачевского и Минковскосо
и модели 1)=3 массивной спиновой суперчастины............................... 21
1.4.1 N =2-суоерчастииа..................................................... 24
1.4.2 Редукция к N=1 суперчастнце п ВРЗ-ирслсле............................. 30
1.5 Структура диссертации....................................................... 33
1’лава 2 Минимальное и расширенное фазовые пространства
.
0=3 спиновой частицы 37
Глава 2 Классическая механика N=2, 0=3 спиновой суперчастицы 44
3.1 Лагранжиан суиерчастицы..................................................... 44
3.2 Расширенное фазовое супсриространство....................................... 46
3.3 Физическое фазовое сунернросмрапстпо........................................ 48
3.4 311(1,1|2)-сунерсиммегриз1 спиновых степеней свободы........................ 54
3.5 Расширенная N=4 суперсимметрия.............................................. 57
3.6 Выражеине гамильтоновых генератор®
Пуанкаре- и 311(1,1|2)-супС|к:имыстрии друг через друга..................... 59
Глава 4 Квантование N=2, 0=3 суперчастицы 62
4.1 Квантование по Березину на N=2 сунерщюстранстяе Лобачевского 63
4.1.1 Лнтиголоморфпые сечения и скалярное произведение...................... 04
4.1.2 Соответствие между символами и операторами........................... 66
4.1.3 Нетипичные представления суиералгебры яи(1,1|2)...................... 67
4.1.4 Принцип соответствия................................................. 69
4.2 Операторная реализация супералгебры Пуанкаре.
Перенормировка суперэярядов................................................. 72
4.3 Существование пе|>епорми|>овки супсрзарядон................................. 79
4.4 Пространство состояний N=2 супсраниона...................................... 83
4.5 Пространство состояний суперчастицы (полу)цслого суперспина................. 85
2
Глава 5 Предел Богомольного- Прасадо-Соммерфилда: N=1 супорчастица 00
5.1 Классическая механика суиерчастииы в ВР&иренелс...................... 92
5.2 Квантование N—1 спиновой суперчастицы................................. %
5.3 Деформированное фоковгкое подставление пространства состояний........ 101
Заключение ЮГ»
Библиографический список испольтованной литературы
108
Глава 1 Введение
1.1 Элементарные динамические системы: отношение к физической картине мира
Методы теоретическою исследования в любой области физики, от классической механики до квантовой теории ноля, предопределяют вычленение и необходимость изучения особого класса динамических систем, которые принято называть “элементарными”. Специфический объект исследования настоящей диссертации массивная спиновая суперчастица в тртхмерном пространстве-времен и — относится как раз к классу таких систем.
Отношение элементарных систем, определяемых формальным языком математической физики, к реальности, понимаемой как физическая картина мира, неоднозначно и неполно в той же степени, в какой неоднозначно и неполно соответствие физических теорий этой реальности, которую мы стремимся понять. Такое положение дел "неизбежно, так как цель теоретической физики состоит в том, чтобы втиснуть чрезвычайно сложный механизм природы в узкую математическую форму, прибегая к идеализациям и упрощениям, которые совершенно необходимы и (несочувствующему уму) кажутся совершенно нелепыми” (1. с. 97). “Узкая математическая форма", в которую вписывается на сегодняшний день физика элементарных частиц аппарат квантовой теории поля. К квантово-полевым теориям относятся как “стандартная модель”, соответствующая (в указанном выше смысле) физической картине мира, так и модели теории суперструн [2, 3, 4], с которыми связываются надежды на построение более удовлетворительной унифицирующей теории, свободной от проблем стандартной модели.
С фундаментальной точки зрения существует два аспекта, определяю щнх отношение элементарных динамических систем к осмыслению физической картины мира методами квантовой теории поля (КТП). Первый из них
порождён классической работой Е. Вигнера (5), в которой элементарная динамическая система определяется как неприводимое представление группы Пуанкаре или, в более широком смысле, группы симметрии теории. Плодотворность такого математического абстрагирования определяется возможностью использовать в КТП мощные методы теории групп и универсальностью отождествления спектра свободных теорий с наборами элементарных динамических систем. Адекватная формализация понятия элементарной динамической системы в классической механике была достигнута через тридцать лет после работ Вигнера в серии книг и статей Ж. Сурьо [б], А. Кириллова [7] и В. Костанта [8]. Одновременно метод Кириллова-Сурьо-Кос-танта (КСК) устанавливает взаимосвязь между классическим и квантово-механическим (вигнеровским) пониманием элементарной динамической системы, т.с. даёт некоторый конструктивный метод коанпюоапия систем с произвольной группой Ли динамической симметрии. В случае простран-
f
ственно-временной симметрии, основанной на группах Галилея, Пуанкаре, де-Ситтера, их суперобобшениях и т.д., элементарные динамические системы естественным образом идентифицируются со спиновыми частицами. Аналогично, апелляция к унитарным группам внутренней симметрии приводит к частицам с изоспином. Можно выделить несколько физических проблем, которые в разное время инициировали интерес к элементарным динамическим системам в различных ракурсах. Перечислим здесь некоторые из них.
Супергравитация и теории (супер)струн могут формулироваться в пространствах высшей размерности 1) > 4. В частности, критическая размерность пространства-времени, в которой возможно нспротивортчивое квантование суперструны, равна десяти. Критическая размерность D=10 для суперструиы и D=2G для бозонной струны получается как в рамках кова-
рнантного БРСТ-квантования, так и квантованием в калибровке светового конуса [2]. Известен также другой подход [9], обеспечивающий квантование (супер)струны пне критических размерностей, однако понизить размерность ДО “физической” 0=4 всё равно не удаётся. На фоне такой ситуации в недавних статьях ,10, 11] была представлена процедура квантования Б—3 свободной струны Намбу-Гото, основанная на совершенно новой идее. Эта процедура сочетает черты ковариаптного квантования (явная Пуанкаре-инвариалтность1) и квантования в калибровке светового конуса (т.е. в терминах физических мод). Последствия нового подхода пока не осознаны, однако ясно, что в перспективе требуется понимание механизма вложения элементарных динамических систем (пуанкаро-инвариан гных физических мод) в спектр струны. Это необходимо как для дальнейшего прогресса в 0=3. так и в 0=4 и в высших размерностях пространства-времен и.
Необходимость развития методов квантования была одним из основных
е
мотивов апелляции к элементарным динамическим системам в последние тридцать лет. Упомянутый выше метод КОК и его дальнейшее развитие в геометрическом квантовании {12, 13} оказались лишь прелюдией к интенсивному исследованию более изощрённых схем квантования по Березину [14, 15, 16], твисторного [17), асимптотического и деформационного методов квантования 18, 19, 20, 21]. На этом пути выяснение детальной взаимосвязи между категориями классической и квантовой механики (фазовое пространство и квантовое состояние, физические величины и символы операторов, геометрическая интерпретация условий квантования в квазиклас-снческом приближении и т.д.), важное в эпистемологическом контексте, сопровождалось содержательными приложениями к построению и исследованию моделей спиновых и изоспииовых частиц [б. 13, 22. 23, 24, 25], а также
^Точиле — евклидова инвариантность, поскольку в 110. 1)| рассматривается струна в Э?. Переформулировка в индефинитной метрике достаточно очевидна и, грубо говоря» сводится к пкколехому пиоодоту.
в
к существенно более сложным системам, например к струнам [26].
Совсем другие примеры соприкосновения методов квантования и элементарных динамических систем возникают в ВФВ-БРСТ-квантовашш. Метод БРСТ возник как ответ на поті>ебность квантования калибровочных теорий Янга-Миллса [27, 28 и развивался как универсальная схема квантования теорий со связями общего вила [29]-[34]. Приложение к элементарным динамическим системам безмассовым суперчастицам было стимулировано проблемой ковариантного квантования суперструны Грина-Шварца [35, 2] Проблема, как известно,порождаласьнеобходимостьюковариантного (относительно глобальных сунерпреобразований и лоренцевских преобразований) разделения связей первого и второго рода и бесконечной стадией приводимости калибровочных симметрий, ассоцищктанных со скрытой л.-симметри-ей. Оказалось, что эти характерные свойства суперструны присуши и действию Бринка-Шварца для безмассовой суперчастицы [36]. Поэтому частная проблема квантования безмассовой суперчастицы стала поводом для интенсивного обсуждения различных схем квантования [37] [53]. Применение общих методов БРСТ- к найтовам и я к другим моделям спиновых (суиер)частиц исследовалось в ряде работ, например [54, 55].
Как уже упоминалось, элементарные динамические системы идентифицируются со спектром частиц свободных квантово-полевых теорий, поэтому их взаимодействие должно рассматриваться в рамках теории взаимодействую щих полей. Такой теорией является стандартная модель, которая описывает взаимодействия частиц со спинами 0,1/2 с помощью пе|)сносчиков каниб-{ювочных полей слипа единица. Возможно, что последовательную теорию, которая включает гравитацию и ноля высших спинов удастся построить в рамках теории суперструн. Одна из причин перехода к расширенным объектам, суперструнам и р бранам, состоит в том, что без их участия до сих пор
7
не удалось построить непротиворечивой теории, описывающей взаимодействие полей высших спинов. Относительно недавний прогресс [57. 58, 59. Gü| в решении этой классической щюблемы состоит в построении самосогласованной системы связанных уравнений движения для безмассовых калибровочных полей всех спинов; полная лагранжсва теория для этих уравнений неизвестна.
Сложность проблемы взаимодействия элементарных динамических систем в фундаментальных полевых теориях оставляет актуальной более прок-тую задачу описания взаимодействия точечных частиц с внешними полями. Частичное решение этой задачи даётся, как известно, уравнениями Папа-петру [611, классическими уравнениями Баргмана-Мишеля-Тслегди [62 и уравнениями Вонга [681 описывающими движение релятивистской массивной спиновой частицы в слабых и слабо неоднородных внешних полях (соответственно — гравитационном, электромагнитном и в поле Янга-Миллса). /
Следует заметить, что оригинальное получение всех этих уравнений не апеллирует ни к какому конкретному лагранжиану частицы и основано на эвристических аргументах. В то же время оказывается, что представляет ин терес именно самосогласованное лагранжевое описание спиновой частицы в ((клювом поле, поскольку только оно позволяет естественным образом и одновременно принять во внимание все калибровочные симметрии спиновой частицы и неканоническую симплектическую структуру физического фазового пространства.
Получение лагранжевых уравнений спиновой частицы во внешнем поле является классической задачей, которая рассматривалась ещё Френкелем [64]. Однако в работе Френкеля, также как и в некоторых более поздних работах, [65]-[70], изучается не элементарная динамическая система, а jxv лятивистский волчок. Квантование последнего не приводит к элементарной
8
динамической системе в смысле Вигнера, т.е. к унитарному неприводимому представлению группы Пуанкаре: спин волчка оказывается просто релятивистским обобщением момента импульса связанного с вращательными степенями свободы, зависит от начальных данных, и, стало быть, не является собственной характеристикой волчка.
Модель спиновой частицы во внешнем попе может быть построена в рамках псевдоклассической механики [71]-[86]. Модель Березина--Маринова для частицы спина 1/2 [71, 72] описывает прецессию спина в сишорооном внешнем поле и соответствии с уравнением БМТ и при квантовании приводи т к уравнению Дирака. Следует отметить, что квантование в модели Бсрсзиил-Маринова, как и во всей псевдоклассической механике, подразумевает формальную замену нечётных переменных теории матрицами Дирака. В псевдоклассической механике отсутствует возможность стандартной трактовки физических величин до квантования [72], а параметры модели приобретают однозначный смысл только после квантования'2. Таким образом, псевдоклассическая механика приводит к элементарной'динамической системе после квантования, но не описывает таковую до квантования, в смысле Сурьо [б].
Представляет интерес другой способ описания релятивистской частицы с произвольными фиксированными массой (как частный случай, безмассовая частица) и спином (спиральностыо), отличный от модели волчка и не связанный с псевдоклассической механикой. Па примере достаточно большого числа моделей [89]-(102], [31. 54, 55] (смотри также обзор [ЮЗ])3 известно, что классическую механику D-мерной спиновой частицы можно построи ть на конфигурационных пространствах вида Rl,;> 1 х где Л — некоторое пространство представления группы Лоренца, выбор которого зависит «кг конкретной модели. Степени свободы, соответствующие L, описывают спин
2Смптри їх» атому поводу любопытную лю кугопо [87. 88]
З3жн> »к? перечислены модели спиновых частиц п иптшгй р&тмпшоггк, l)=I t*2; и них речь пойдГгг ниж«!.
9
частицы. Идентификация таком механической системы со свободной спиновой частицей возможна при выполнении определённых условий. Во-первых, физические переменные модели должны параметризовать, в соответствии с предписаниями метода КСК, некоторую коирисоединённую 0|>биту (одно-родное симплектичсское многообразие) группы Пуанкаре. Коприсоединён-ным орбитам общего положения соответствуют массивные спиновые частицы, бесспиновые и безмассовые частицы отождествляются с вьцюждеиными коорбитамн. Это простое требование налагает сильные ограничения на вид лагранжиана, поскольку последний должен обладать, кроме релятивистской инвариантности, всеми калибровочными симметриями и генерировать (в гамильтоновом формализме) такой набор связей первого и, возможно, второго рода, чтобы нейтрализовать нефизичсские степени свободы. Во вторых, первичное кван тование модели должно приводить к свободным релятивистским волновым уравнениям для частиц с произвольными фиксированными
г
массой и спином (спиральностью). отличие от псевдоклассической механики, спиновые степени свободы в конфигурационном пространстве (подмногообразие Ь) описываются обычными, чётными, переменными, а г|»всем ановы переменные появляются только в суперрасширениях [104], когда их появление оказывается естественным следствием требования явной су-пе!>симметрик. Преобразования [М-расширенной суперсимметрии Пуанкаре реализуются на соответствующем суперпространстве Минковского 6’М0|,\ а конфигурационное пространство спиновой частицы должно быть заменено на х 1.
Преимущество моделей частицы с конфигурационным пространством вида Е1,0-1 х £ по сравнению с оригинальной формулировкой КСК (апеллирующей непосредственно к коо1>битам) состоит в сохранении пространственно-временной интерпретации что представляется важным в котткстс
10
- Київ+380960830922